微积分学示例

${(\frac{y + 2}{3 - y})}^{3}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{3}$ 且 $g (y) = \frac{y + 2}{3 - y}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{y + 2}{3 - y}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d y} [\frac{y + 2}{3 - y}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 u^{2} \frac{d}{d y} [\frac{y + 2}{3 - y}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{y + 2}{3 - y}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{d}{d y} [\frac{y + 2}{3 - y}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ 等于 $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ，其中 $f (y) = y + 2$ 且 $g (y) = 3 - y$ 。

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{(3 - y) \frac{d}{d y} [y + 2] - (y + 2) \frac{d}{d y} [3 - y]}{{(3 - y)}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $y + 2$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ 。

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{(3 - y) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]) - (y + 2) \frac{d}{d y} [3 - y]}{{(3 - y)}^{2}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{(3 - y) (1 + \frac{d}{d y} [2]) - (y + 2) \frac{d}{d y} [3 - y]}{{(3 - y)}^{2}}$

解题步骤 3.3

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{(3 - y) (1 + 0) - (y + 2) \frac{d}{d y} [3 - y]}{{(3 - y)}^{2}}$

解题步骤 3.4

化简表达式。

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解题步骤 3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{(3 - y) \cdot 1 - (y + 2) \frac{d}{d y} [3 - y]}{{(3 - y)}^{2}}$

解题步骤 3.4.2

将 $3 - y$ 乘以 $1$ 。

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y - (y + 2) \frac{d}{d y} [3 - y]}{{(3 - y)}^{2}}$

解题步骤 3.5

根据加法法则， $3 - y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [- y]$ 。

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y - (y + 2) (\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [- y])}{{(3 - y)}^{2}}$

解题步骤 3.6

因为 $3$ 对于 $y$ 是常数，所以 $3$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y - (y + 2) (0 + \frac{d}{d y} [- y])}{{(3 - y)}^{2}}$

解题步骤 3.7

将 $0$ 和 $\frac{d}{d y} [- y]$ 相加。

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y - (y + 2) \frac{d}{d y} [- y]}{{(3 - y)}^{2}}$

解题步骤 3.8

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y]$ 。

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y - (y + 2) (- \frac{d}{d y} [y])}{{(3 - y)}^{2}}$

解题步骤 3.9

乘。

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解题步骤 3.9.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y + 1 (y + 2) \frac{d}{d y} [y]}{{(3 - y)}^{2}}$

解题步骤 3.9.2

将 $y + 2$ 乘以 $1$ 。

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y + (y + 2) \frac{d}{d y} [y]}{{(3 - y)}^{2}}$

解题步骤 3.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y + (y + 2) \cdot 1}{{(3 - y)}^{2}}$

解题步骤 3.11

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 3.11.1

将 $y + 2$ 乘以 $1$ 。

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y + y + 2}{{(3 - y)}^{2}}$

解题步骤 3.11.2

将 $- y$ 和 $y$ 相加。

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 + 0 + 2}{{(3 - y)}^{2}}$

解题步骤 3.11.3

化简表达式。

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解题步骤 3.11.3.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 + 2}{{(3 - y)}^{2}}$

解题步骤 3.11.3.2

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{5}{{(3 - y)}^{2}}$

解题步骤 3.11.3.3

重新排序项。

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{5}{{(- y + 3)}^{2}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

对 $\frac{y + 2}{3 - y}$ 运用乘积法则。

$3 \frac{{(y + 2)}^{2}}{{(3 - y)}^{2}} \frac{5}{{(- y + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.2

合并项。

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解题步骤 4.2.1

组合 $3$ 和 $\frac{{(y + 2)}^{2}}{{(3 - y)}^{2}}$ 。

$\frac{3 {(y + 2)}^{2}}{{(3 - y)}^{2}} \cdot \frac{5}{{(- y + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.2.2

将 $\frac{3 {(y + 2)}^{2}}{{(3 - y)}^{2}}$ 乘以 $\frac{5}{{(- y + 3)}^{2}}$ 。

$\frac{3 {(y + 2)}^{2} \cdot 5}{{(3 - y)}^{2} {(- y + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.2.3

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{15 {(y + 2)}^{2}}{{(3 - y)}^{2} {(- y + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.2.4

重新排序项。

$\frac{15 {(y + 2)}^{2}}{{(- y + 3)}^{2} {(- y + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.2.5

通过指数相加将 ${(- y + 3)}^{2}$ 乘以 ${(- y + 3)}^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.5.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{15 {(y + 2)}^{2}}{{(- y + 3)}^{2 + 2}}$

解题步骤 4.2.5.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{15 {(y + 2)}^{2}}{{(- y + 3)}^{4}}$

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