微积分学示例

$y = \ln (\arctan (6 x^{5}))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \arctan (6 x^{5})$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\arctan (6 x^{5})$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\arctan (6 x^{5})]$

解题步骤 1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\arctan (6 x^{5})]$

解题步骤 1.3

使用 $\arctan (6 x^{5})$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} \frac{d}{d x} [\arctan (6 x^{5})]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arctan (x)$ 且 $g (x) = 6 x^{5}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $6 x^{5}$ 。

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x^{5}])$

解题步骤 2.2

$\arctan (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ 。

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{5}])$

解题步骤 2.3

使用 $6 x^{5}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{1}{1 + {(6 x^{5})}^{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{5}])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

从 $6 x^{5}$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{1}{1 + {(6 (x^{5}))}^{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{5}])$

解题步骤 3.2

化简表达式。

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解题步骤 3.2.1

对 $6 (x^{5})$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{1}{1 + 6^{2} {(x^{5})}^{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{5}])$

解题步骤 3.2.2

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{1}{1 + 36 {(x^{5})}^{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{5}])$

解题步骤 3.2.3

将 ${(x^{5})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{1}{1 + 36 x^{5 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [6 x^{5}])$

解题步骤 3.2.3.2

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{1}{1 + 36 x^{10}} \frac{d}{d x} [6 x^{5}])$

解题步骤 3.3

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{1}{1 + 36 x^{10}} (6 \frac{d}{d x} [x^{5}]))$

解题步骤 3.4

组合 $6$ 和 $\frac{1}{1 + 36 x^{10}}$ 。

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{6}{1 + 36 x^{10}} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{6}{1 + 36 x^{10}} (5 x^{4}))$

解题步骤 3.6

合并分数。

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解题步骤 3.6.1

组合 $5$ 和 $\frac{6}{1 + 36 x^{10}}$ 。

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{5 \cdot 6}{1 + 36 x^{10}} x^{4})$

解题步骤 3.6.2

将 $5$ 乘以 $6$ 。

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{30}{1 + 36 x^{10}} x^{4})$

解题步骤 3.6.3

组合 $\frac{30}{1 + 36 x^{10}}$ 和 $x^{4}$ 。

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} \cdot \frac{30 x^{4}}{1 + 36 x^{10}}$

解题步骤 3.6.4

重新排序项。

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} \cdot \frac{30 x^{4}}{36 x^{10} + 1}$

解题步骤 3.6.5

将 $\frac{1}{\arctan (6 x^{5})}$ 乘以 $\frac{30 x^{4}}{36 x^{10} + 1}$ 。

$\frac{30 x^{4}}{\arctan (6 x^{5}) (36 x^{10} + 1)}$

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