微积分学示例

$f (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18$

解题步骤 1

求 x 轴截距。

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解题步骤 1.1

要求 x 轴截距，请将 $0$ 代入 $y$ 并求解 $x$ 。

$0 = x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18$

解题步骤 1.2

求解方程。

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解题步骤 1.2.1

将方程重写为 $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18 = 0$ 。

$x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18 = 0$

解题步骤 1.2.2

使用有理根检验法因式分解 $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1$

解题步骤 1.2.2.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

解题步骤 1.2.2.3

代入 $3$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $3$ 是多项式的根。

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解题步骤 1.2.2.3.1

将 $3$ 代入多项式。

$3^{3} - 9 \cdot 3^{2} + 24 \cdot 3 - 18$

解题步骤 1.2.2.3.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$27 - 9 \cdot 3^{2} + 24 \cdot 3 - 18$

解题步骤 1.2.2.3.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$27 - 9 \cdot 9 + 24 \cdot 3 - 18$

解题步骤 1.2.2.3.4

将 $- 9$ 乘以 $9$ 。

$27 - 81 + 24 \cdot 3 - 18$

解题步骤 1.2.2.3.5

从 $27$ 中减去 $81$ 。

$- 54 + 24 \cdot 3 - 18$

解题步骤 1.2.2.3.6

将 $24$ 乘以 $3$ 。

$- 54 + 72 - 18$

解题步骤 1.2.2.3.7

将 $- 54$ 和 $72$ 相加。

$18 - 18$

解题步骤 1.2.2.3.8

从 $18$ 中减去 $18$ 。

$0$

解题步骤 1.2.2.4

因为 $3$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 3$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18}{x - 3}$

解题步骤 1.2.2.5

用 $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18$ 除以 $x - 3$ 。

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解题步骤 1.2.2.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$3$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$24 x$

$18$

解题步骤 1.2.2.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$

解题步骤 1.2.2.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

解题步骤 1.2.2.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} - 3 x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

解题步骤 1.2.2.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

解题步骤 1.2.2.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$

解题步骤 1.2.2.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 6 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$

解题步骤 1.2.2.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$18 x$

解题步骤 1.2.2.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 6 x^{2} + 18 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$

解题步骤 1.2.2.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$

解题步骤 1.2.2.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$	-	$18$

解题步骤 1.2.2.5.12

将被除数中的最高阶项 $6 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$	-	$18$

解题步骤 1.2.2.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$	-	$18$
							+	$6 x$	-	$18$

解题步骤 1.2.2.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $6 x - 18$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$	-	$18$
							-	$6 x$	+	$18$

解题步骤 1.2.2.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$	-	$18$
							-	$6 x$	+	$18$
										$0$

解题步骤 1.2.2.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} - 6 x + 6$

解题步骤 1.2.2.6

将 $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18$ 书写为因数的集合。

$(x - 3) (x^{2} - 6 x + 6) = 0$

解题步骤 1.2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

$x^{2} - 6 x + 6 = 0$

解题步骤 1.2.4

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 1.2.4.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 1.2.5

将 $x^{2} - 6 x + 6$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $x^{2} - 6 x + 6$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - 6 x + 6 = 0$

解题步骤 1.2.5.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - 6 x + 6 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.5.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 1.2.5.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = - 6$ 和 $c = 6$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.3

化简。

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解题步骤 1.2.5.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 1.2.5.2.3.1.1

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ 。

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解题步骤 1.2.5.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $6$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.3.1.3

从 $36$ 中减去 $24$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.3.1.4

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 1.2.5.2.3.1.4.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.3.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.3.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.5.2.3.3

化简 $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = 3 \pm \sqrt{3}$

解题步骤 1.2.5.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 1.2.5.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 1.2.5.2.4.1.1

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ 。

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解题步骤 1.2.5.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $6$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.4.1.3

从 $36$ 中减去 $24$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.4.1.4

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 1.2.5.2.4.1.4.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.4.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.4.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.5.2.4.3

化简 $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = 3 \pm \sqrt{3}$

解题步骤 1.2.5.2.4.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = 3 + \sqrt{3}$

解题步骤 1.2.5.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 1.2.5.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 1.2.5.2.5.1.1

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ 。

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解题步骤 1.2.5.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $6$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.5.1.3

从 $36$ 中减去 $24$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.5.1.4

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 1.2.5.2.5.1.4.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.5.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.5.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.5.2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.5.2.5.3

化简 $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = 3 \pm \sqrt{3}$

解题步骤 1.2.5.2.5.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = 3 - \sqrt{3}$

解题步骤 1.2.5.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = 3 + \sqrt{3}, 3 - \sqrt{3}$

解题步骤 1.2.6

最终解为使 $(x - 3) (x^{2} - 6 x + 6) = 0$ 成立的所有值。

$x = 3, 3 + \sqrt{3}, 3 - \sqrt{3}$

解题步骤 1.3

以点的形式表示的 x 轴截距。

x 轴截距： $(3, 0), (3 + \sqrt{3}, 0), (3 - \sqrt{3}, 0)$

解题步骤 2

求 y 轴截距

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解题步骤 2.1

要求 y 轴截距，请将 $0$ 代入 $x$ 并求解 $y$ 。

$y = {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 24 (0) - 18$

解题步骤 2.2

求解方程。

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解题步骤 2.2.1

去掉圆括号。

$y = 0^{3} - 9 {(0)}^{2} + 24 (0) - 18$

解题步骤 2.2.2

去掉圆括号。

$y = 0^{3} - 9 \cdot 0^{2} + 24 (0) - 18$

解题步骤 2.2.3

去掉圆括号。

$y = {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 24 (0) - 18$

解题步骤 2.2.4

化简 ${(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 24 (0) - 18$ 。

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解题步骤 2.2.4.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.4.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$y = 0 - 9 {(0)}^{2} + 24 (0) - 18$

解题步骤 2.2.4.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$y = 0 - 9 \cdot 0 + 24 (0) - 18$

解题步骤 2.2.4.1.3

将 $- 9$ 乘以 $0$ 。

$y = 0 + 0 + 24 (0) - 18$

解题步骤 2.2.4.1.4

将 $24$ 乘以 $0$ 。

$y = 0 + 0 + 0 - 18$

解题步骤 2.2.4.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 2.2.4.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$y = 0 + 0 - 18$

解题步骤 2.2.4.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$y = 0 - 18$

解题步骤 2.2.4.2.3

从 $0$ 中减去 $18$ 。

$y = - 18$

解题步骤 2.3

以点的形式表示的 y 轴截距。

y 轴截距： $(0, - 18)$

解题步骤 3

列出交点。

x 轴截距： $(3, 0), (3 + \sqrt{3}, 0), (3 - \sqrt{3}, 0)$

y 轴截距： $(0, - 18)$

解题步骤 4

微积分学 示例

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