微积分学示例

$y = \frac{2 x + 5}{\sqrt{x}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 2 x + 5$ 且 $g (x) = \sqrt{x}$ 。

$\frac{\sqrt{x} \frac{d}{d x} [2 x + 5] - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 2

根据加法法则， $2 x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{\sqrt{x} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\sqrt{x} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\sqrt{x} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{x} (2 + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\sqrt{x} (2 + 0) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 4.2

化简表达式。

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解题步骤 4.2.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 4.2.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 6

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 7

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 8

化简分子。

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解题步骤 8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 8.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 9

将负号移到分数的前面。

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 10.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

运用分配律。

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 + (- (2 x) - 1 \cdot 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.2

运用分配律。

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.3

化简每一项。

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解题步骤 11.3.1

将 $2$ 移到 $\sqrt{x}$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot \sqrt{x} - (2 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.2.1

从 $- (2 x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{x} + 2 (- (x)) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.3.2.2

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{x} + 2 (- (x)) \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}})} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.3.2.3

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{x} + 2 (- (x)) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.3.2.4

重写表达式。

$\frac{2 \sqrt{x} - (x) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.3.3

组合 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 \sqrt{x} - \frac{x}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.3.4

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$\frac{2 \sqrt{x} - (x \cdot x^{- \frac{1}{2}}) - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.3.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 11.3.5.1

将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 11.3.5.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \sqrt{x} - (x^{1} x^{- \frac{1}{2}}) - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.3.5.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{1 - \frac{1}{2}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.3.5.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.3.5.3

在公分母上合并分子。

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.3.5.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.3.6

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{1}{2}} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.3.7

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.3.8

将负号移到分数的前面。

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.4

将 ${\sqrt{x}}^{2}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 11.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 11.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 11.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 11.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.4.4.1

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 11.4.4.2

重写表达式。

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{1}}$

解题步骤 11.4.5

化简。

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 11.5

重新排序项。

$\frac{- x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

解题步骤 11.6

化简分子。

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解题步骤 11.6.1

要将 $- x^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{- x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

解题步骤 11.6.2

组合 $- x^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

解题步骤 11.6.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

解题步骤 11.6.4

化简每一项。

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解题步骤 11.6.4.1

化简分子。

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解题步骤 11.6.4.1.1

从 $- x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) - 5$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 11.6.4.1.1.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{- 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

解题步骤 11.6.4.1.1.2

从 $- 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\frac{- (2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

解题步骤 11.6.4.1.1.3

将 $- 5$ 重写为 $- 1 (5)$ 。

$\frac{\frac{- (2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 1 (5)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

解题步骤 11.6.4.1.1.4

从 $- (2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 1 (5)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\frac{- (2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 5)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

解题步骤 11.6.4.1.2

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 11.6.4.1.2.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{- (2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 5)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

解题步骤 11.6.4.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{- (2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 5)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

解题步骤 11.6.4.1.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{- (2 x^{\frac{1 + 1}{2}} + 5)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

解题步骤 11.6.4.1.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{- (2 x^{\frac{2}{2}} + 5)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

解题步骤 11.6.4.1.2.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{\frac{- (2 x^{1} + 5)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

解题步骤 11.6.4.1.3

化简 $2 x^{1}$ 。

$\frac{\frac{- (2 x + 5)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

解题步骤 11.6.4.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{- \frac{2 x + 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

解题步骤 11.6.5

要将 $2 \sqrt{x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{- \frac{2 x + 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 11.6.6

组合 $2 \sqrt{x}$ 和 $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{- \frac{2 x + 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 \sqrt{x} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 11.6.7

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{- (2 x + 5) + 2 \sqrt{x} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 11.6.8

化简分子。

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解题步骤 11.6.8.1

运用分配律。

$\frac{\frac{- (2 x) - 1 \cdot 5 + 2 \sqrt{x} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 11.6.8.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{- 2 x - 1 \cdot 5 + 2 \sqrt{x} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 11.6.8.3

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{\frac{- 2 x - 5 + 2 \sqrt{x} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 11.6.8.4

乘以 $2 \sqrt{x} (2 x^{\frac{1}{2}})$ 。

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解题步骤 11.6.8.4.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{- 2 x - 5 + 4 \sqrt{x} x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 11.6.8.4.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{- 2 x - 5 + 4 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 11.6.8.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{- 2 x - 5 + 4 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 11.6.8.4.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{- 2 x - 5 + 4 x^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 11.6.8.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{- 2 x - 5 + 4 x^{\frac{2}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 11.6.8.4.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.6.8.4.6.1

约去公因数。

$\frac{\frac{- 2 x - 5 + 4 x^{\frac{2}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 11.6.8.4.6.2

重写表达式。

$\frac{\frac{- 2 x - 5 + 4 x^{1}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 11.6.8.5

化简。

$\frac{\frac{- 2 x - 5 + 4 x}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 11.6.8.6

将 $- 2 x$ 和 $4 x$ 相加。

$\frac{\frac{2 x - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 11.7

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{2 x - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 11.8

乘以 $\frac{2 x - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 11.8.1

将 $\frac{2 x - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{2 x - 5}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

解题步骤 11.8.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 x - 5}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 11.8.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x - 5}{2 x^{1 + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.8.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{2 x - 5}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.8.5

在公分母上合并分子。

$\frac{2 x - 5}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}}}$

解题步骤 11.8.6

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

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