微积分学示例

$f (x) = 2 x^{3} - x^{2} - 9 x - 4$

解题步骤 1

将 $2 x^{3} - x^{2} - 9 x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$2 x^{3} - x^{2} - 9 x - 4 = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

使用有理根检验法因式分解 $2 x^{3} - x^{2} - 9 x - 4$ 。

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解题步骤 2.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

解题步骤 2.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 4, \pm 2$

解题步骤 2.1.3

代入 $- 0.5$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 0.5$ 是多项式的根。

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解题步骤 2.1.3.1

将 $- 0.5$ 代入多项式。

$2 {(- 0.5)}^{3} - {(- 0.5)}^{2} - 9 \cdot - 0.5 - 4$

解题步骤 2.1.3.2

对 $- 0.5$ 进行 $3$ 次方运算。

$2 \cdot - 0.125 - {(- 0.5)}^{2} - 9 \cdot - 0.5 - 4$

解题步骤 2.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 0.125$ 。

$- 0.25 - {(- 0.5)}^{2} - 9 \cdot - 0.5 - 4$

解题步骤 2.1.3.4

对 $- 0.5$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 0.25 - 1 \cdot 0.25 - 9 \cdot - 0.5 - 4$

解题步骤 2.1.3.5

将 $- 1$ 乘以 $0.25$ 。

$- 0.25 - 0.25 - 9 \cdot - 0.5 - 4$

解题步骤 2.1.3.6

从 $- 0.25$ 中减去 $0.25$ 。

$- 0.5 - 9 \cdot - 0.5 - 4$

解题步骤 2.1.3.7

将 $- 9$ 乘以 $- 0.5$ 。

$- 0.5 + 4.5 - 4$

解题步骤 2.1.3.8

将 $- 0.5$ 和 $4.5$ 相加。

$4 - 4$

解题步骤 2.1.3.9

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$0$

解题步骤 2.1.4

因为 $- 0.5$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $2 x + 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 9 x - 4}{2 x + 1}$

解题步骤 2.1.5

用 $2 x^{3} - x^{2} - 9 x - 4$ 除以 $2 x + 1$ 。

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解题步骤 2.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$9 x$

$4$

解题步骤 2.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $2 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

					$x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$

解题步骤 2.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

解题步骤 2.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x^{3} + x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

解题步骤 2.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

解题步骤 2.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$

解题步骤 2.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 2 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$

解题步骤 2.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$

解题步骤 2.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 2 x^{2} - x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$

解题步骤 2.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$8 x$

解题步骤 2.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$8 x$	-	$4$

解题步骤 2.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 8 x$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

				$x^{2}$	-	$x$	-	$4$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$8 x$	-	$4$

解题步骤 2.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$x$	-	$4$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$8 x$	-	$4$
							-	$8 x$	-	$4$

解题步骤 2.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 8 x - 4$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$x$	-	$4$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$8 x$	-	$4$
							+	$8 x$	+	$4$

解题步骤 2.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$x$	-	$4$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$8 x$	-	$4$
							+	$8 x$	+	$4$
										$0$

解题步骤 2.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} - x - 4$

解题步骤 2.1.6

将 $2 x^{3} - x^{2} - 9 x - 4$ 书写为因数的集合。

$(2 x + 1) (x^{2} - x - 4) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 x + 1 = 0$

$x^{2} - x - 4 = 0$

解题步骤 2.3

将 $2 x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $2 x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 x + 1 = 0$

解题步骤 2.3.2

求解 $x$ 的 $2 x + 1 = 0$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$2 x = - 1$

解题步骤 2.3.2.2

将 $2 x = - 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.3.2.2.1

将 $2 x = - 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 2.3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 2.3.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 2.3.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1}{2}$

解题步骤 2.4

将 $x^{2} - x - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x^{2} - x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - x - 4 = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - x - 4 = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.4.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = - 1$ 和 $c = - 4$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3

化简。

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解题步骤 2.4.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 2.4.2.3.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ 。

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解题步骤 2.4.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.3

将 $1$ 和 $16$ 相加。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$

解题步骤 2.4.2.4

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}, \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$

解题步骤 2.5

最终解为使 $(2 x + 1) (x^{2} - x - 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1 + \sqrt{17}}{2}, \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$

解题步骤 3

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1 + \sqrt{17}}{2}, \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$

小数形式：

$x = - 0.5, 2.56155281 \dots, - 1.56155281 \dots$

解题步骤 4

微积分学 示例

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