微积分学示例

$y = u^{2} + 1$ , $u = 3 x - 2$

解题步骤 1

链式法则指的是 $y$ 对 $x$ 的导数等于 $y$ 对 $u$ 的导数乘以 $u$ 对 $x$ 的导数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

解题步骤 2

求 $\frac{d y}{d u}$ 。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $u^{2} + 1$ 对 $u$ 的导数是 $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [1]$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [1]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u + \frac{d}{d u} [1]$

解题步骤 2.3

因为 $1$ 对于 $u$ 是常数，所以 $1$ 对 $u$ 的导数为 $0$ 。

$2 u + 0$

解题步骤 2.4

将 $2 u$ 和 $0$ 相加。

$2 u$

解题步骤 3

求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $3 x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 3.2.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 3.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 + 0$

解题步骤 3.3.2

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$3$

解题步骤 4

将 $\frac{d y}{d u}$ 乘以 $\frac{d u}{d x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = (3) \cdot (2 u)$

解题步骤 5

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{d y}{d x} = 6 u$

解题步骤 6

将 $u$ 的值代入导数 $6 u$ 。

$\frac{d y}{d x} = 6 (3 x - 2)$

解题步骤 7

化简结果。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$\frac{d y}{d x} = 6 (3 x) + 6 \cdot - 2$

解题步骤 7.2

乘。

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解题步骤 7.2.1

将 $3$ 乘以 $6$ 。

$\frac{d y}{d x} = 18 x + 6 \cdot - 2$

解题步骤 7.2.2

将 $6$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{d y}{d x} = 18 x - 12$

微积分学 示例

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