微积分学示例

$2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10 = y$

解题步骤 1

将方程重写为 $y = 2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10$ 。

$y = 2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10$

解题步骤 2

将 $y$ 设为等于 $0$ 。

$2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10 = 0$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 3.1.1

使用有理根检验法因式分解 $2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10$ 。

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解题步骤 3.1.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 2$

解题步骤 3.1.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 10, \pm 5, \pm 2, \pm 2.5$

解题步骤 3.1.1.3

代入 $- 1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 1$ 是多项式的根。

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解题步骤 3.1.1.3.1

将 $- 1$ 代入多项式。

$2 {(- 1)}^{3} - 7 {(- 1)}^{2} - 1 + 10$

解题步骤 3.1.1.3.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$2 \cdot - 1 - 7 {(- 1)}^{2} - 1 + 10$

解题步骤 3.1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 - 7 {(- 1)}^{2} - 1 + 10$

解题步骤 3.1.1.3.4

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 2 - 7 \cdot 1 - 1 + 10$

解题步骤 3.1.1.3.5

将 $- 7$ 乘以 $1$ 。

$- 2 - 7 - 1 + 10$

解题步骤 3.1.1.3.6

从 $- 2$ 中减去 $7$ 。

$- 9 - 1 + 10$

解题步骤 3.1.1.3.7

从 $- 9$ 中减去 $1$ 。

$- 10 + 10$

解题步骤 3.1.1.3.8

将 $- 10$ 和 $10$ 相加。

$0$

解题步骤 3.1.1.4

因为 $- 1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x + 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10}{x + 1}$

解题步骤 3.1.1.5

用 $2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10$ 除以 $x + 1$ 。

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解题步骤 3.1.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$x$

$10$

解题步骤 3.1.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $2 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$

解题步骤 3.1.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			+	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

解题步骤 3.1.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x^{3} + 2 x^{2}$ 中的所有符号

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

解题步骤 3.1.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$

解题步骤 3.1.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$

解题步骤 3.1.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 9 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$

解题步骤 3.1.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$
					-	$9 x^{2}$	-	$9 x$

解题步骤 3.1.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 9 x^{2} - 9 x$ 中的所有符号

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$

解题步骤 3.1.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$10 x$

解题步骤 3.1.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$10 x$	+	$10$

解题步骤 3.1.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $10 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$10$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$10 x$	+	$10$

解题步骤 3.1.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$10$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$10 x$	+	$10$
							+	$10 x$	+	$10$

解题步骤 3.1.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $10 x + 10$ 中的所有符号

				$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$10$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$10 x$	+	$10$
							-	$10 x$	-	$10$

解题步骤 3.1.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$10$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$10 x$	+	$10$
							-	$10 x$	-	$10$
										$0$

解题步骤 3.1.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$2 x^{2} - 9 x + 10$

解题步骤 3.1.1.6

将 $2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10$ 书写为因数的集合。

$(x + 1) (2 x^{2} - 9 x + 10) = 0$

解题步骤 3.1.2

分组因式分解。

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解题步骤 3.1.2.1

分组因式分解。

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解题步骤 3.1.2.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot 10 = 20$ 并且它们的和为 $b = - 9$ 。

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解题步骤 3.1.2.1.1.1

从 $- 9 x$ 中分解出因数 $- 9$ 。

$(x + 1) (2 x^{2} - 9 x + 10) = 0$

解题步骤 3.1.2.1.1.2

把 $- 9$ 重写为 $- 4$ 加 $- 5$

$(x + 1) (2 x^{2} + (- 4 - 5) x + 10) = 0$

解题步骤 3.1.2.1.1.3

运用分配律。

$(x + 1) (2 x^{2} - 4 x - 5 x + 10) = 0$

解题步骤 3.1.2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 3.1.2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(x + 1) ((2 x^{2} - 4 x) - 5 x + 10) = 0$

解题步骤 3.1.2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$(x + 1) (2 x (x - 2) - 5 (x - 2)) = 0$

解题步骤 3.1.2.1.3

通过因式分解出最大公因数 $x - 2$ 来因式分解多项式。

$(x + 1) ((x - 2) (2 x - 5)) = 0$

解题步骤 3.1.2.2

去掉多余的括号。

$(x + 1) (x - 2) (2 x - 5) = 0$

解题步骤 3.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$2 x - 5 = 0$

解题步骤 3.3

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 3.3.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 3.4

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 3.4.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 3.5

将 $2 x - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $2 x - 5$ 设为等于 $0$ 。

$2 x - 5 = 0$

解题步骤 3.5.2

求解 $x$ 的 $2 x - 5 = 0$ 。

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解题步骤 3.5.2.1

在等式两边都加上 $5$ 。

$2 x = 5$

解题步骤 3.5.2.2

将 $2 x = 5$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.5.2.2.1

将 $2 x = 5$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

解题步骤 3.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

解题步骤 3.5.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{5}{2}$

解题步骤 3.6

最终解为使 $(x + 1) (x - 2) (2 x - 5) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 1, 2, \frac{5}{2}$

解题步骤 4

微积分学 示例

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