微积分学示例

$y = u^{\frac{3}{2}}$ , $u = 6 x + 5$

解题步骤 1

链式法则指的是 $y$ 对 $x$ 的导数等于 $y$ 对 $u$ 的导数乘以 $u$ 对 $x$ 的导数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

解题步骤 2

求 $\frac{d y}{d u}$ 。

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解题步骤 2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1}$

解题步骤 2.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

解题步骤 2.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{3}{2} u^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 2.5

化简分子。

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解题步骤 2.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3}{2} u^{\frac{3 - 2}{2}}$

解题步骤 2.5.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{3}{2} u^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.6

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 3

求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $6 x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [6 x]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 3.2.3

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$6 + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 3.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.3.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$6 + 0$

解题步骤 3.3.2

将 $6$ 和 $0$ 相加。

$6$

解题步骤 4

将 $\frac{d y}{d u}$ 乘以 $\frac{d u}{d x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = (6) \cdot (\frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 5

化简右边 $(6) \cdot (\frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2})$ 。

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解题步骤 5.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d y}{d x} = 2 (3) \cdot \frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 5.1.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = 2 \cdot 3 \cdot \frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 5.1.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot (3 u^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 5.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{d y}{d x} = 9 u^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6

将 $u$ 的值代入导数 $9 u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d y}{d x} = 9 {(6 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$

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