微积分学示例

$y = \frac{u + 1}{u}$ , $u = 2 x^{3}$

解题步骤 1

链式法则指的是 $y$ 对 $x$ 的导数等于 $y$ 对 $u$ 的导数乘以 $u$ 对 $x$ 的导数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

解题步骤 2

求 $\frac{d y}{d u}$ 。

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解题步骤 2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ 等于 $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ ，其中 $f (u) = u + 1$ 且 $g (u) = u$ 。

$\frac{u \frac{d}{d u} [u + 1] - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $u + 1$ 对 $u$ 的导数是 $\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]$ 。

$\frac{u (\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]) - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{u (1 + \frac{d}{d u} [1]) - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

解题步骤 2.2.3

因为 $1$ 对于 $u$ 是常数，所以 $1$ 对 $u$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{u (1 + 0) - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

解题步骤 2.2.4

化简表达式。

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解题步骤 2.2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{u \cdot 1 - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

解题步骤 2.2.4.2

将 $u$ 乘以 $1$ 。

$\frac{u - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

解题步骤 2.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{u - (u + 1) \cdot 1}{u^{2}}$

解题步骤 2.2.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{u - (u + 1)}{u^{2}}$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

运用分配律。

$\frac{u - u - 1 \cdot 1}{u^{2}}$

解题步骤 2.3.2

化简分子。

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解题步骤 2.3.2.1

从 $u$ 中减去 $u$ 。

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{u^{2}}$

解题步骤 2.3.2.2

从 $0$ 中减去 $1 \cdot 1$ 。

$\frac{- 1 \cdot 1}{u^{2}}$

解题步骤 2.3.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 1}{u^{2}}$

解题步骤 2.3.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{u^{2}}$

解题步骤 3

求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$2 (3 x^{2})$

解题步骤 3.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$6 x^{2}$

解题步骤 4

将 $\frac{d y}{d u}$ 乘以 $\frac{d u}{d x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = (6 x^{2}) \cdot (- \frac{1}{u^{2}})$

解题步骤 5

化简右边 $(6 x^{2}) \cdot (- \frac{1}{u^{2}})$ 。

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解题步骤 5.1

乘以 $(6 x^{2}) (- \frac{1}{u^{2}})$ 。

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解题步骤 5.1.1

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$\frac{d y}{d x} = - 6 x^{2} \frac{1}{u^{2}}$

解题步骤 5.1.2

组合 $- 6$ 和 $\frac{1}{u^{2}}$ 。

$\frac{d y}{d x} = x^{2} (\frac{- 6}{u^{2}})$

解题步骤 5.1.3

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{- 6}{u^{2}}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot - 6}{u^{2}}$

解题步骤 5.2

将 $- 6$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 6 \cdot x^{2}}{u^{2}}$

解题步骤 5.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{u^{2}}$

解题步骤 6

将 $u$ 的值代入导数 $- \frac{6 x^{2}}{u^{2}}$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{{(2 x^{3})}^{2}}$

解题步骤 7

化简结果。

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解题步骤 7.1

化简分母。

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解题步骤 7.1.1

对 $2 x^{3}$ 运用乘积法则。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{2^{2} {(x^{3})}^{2}}$

解题步骤 7.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{4 {(x^{3})}^{2}}$

解题步骤 7.1.3

将 ${(x^{3})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{4 x^{3 \cdot 2}}$

解题步骤 7.1.3.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{4 x^{6}}$

解题步骤 7.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 7.2.1

约去 $6$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

从 $6 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (3 x^{2})}{4 x^{6}}$

解题步骤 7.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.1.2.1

从 $4 x^{6}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (3 x^{2})}{2 (2 x^{6})}$

解题步骤 7.2.1.2.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (3 x^{2})}{2 (2 x^{6})}$

解题步骤 7.2.1.2.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2}}{2 x^{6}}$

解题步骤 7.2.2

约去 $x^{2}$ 和 $x^{6}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} \cdot 3}{2 x^{6}}$

解题步骤 7.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.2.2.1

从 $2 x^{6}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (2 x^{4})}$

解题步骤 7.2.2.2.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (2 x^{4})}$

解题步骤 7.2.2.2.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3}{2 x^{4}}$

微积分学 示例

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