微积分学示例

$y = u^{2} + u - 2$ , $u = \frac{1}{x}$

解题步骤 1

链式法则指的是 $y$ 对 $x$ 的导数等于 $y$ 对 $u$ 的导数乘以 $u$ 对 $x$ 的导数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

解题步骤 2

求 $\frac{d y}{d u}$ 。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $u^{2} + u - 2$ 对 $u$ 的导数是 $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 2]$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 2]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u + \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 2]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 u + 1 + \frac{d}{d u} [- 2]$

解题步骤 2.4

因为 $- 2$ 对于 $u$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $u$ 的导数为 $0$ 。

$2 u + 1 + 0$

解题步骤 2.5

将 $2 u + 1$ 和 $0$ 相加。

$2 u + 1$

解题步骤 3

求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- x^{- 2}$

解题步骤 3.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 4

将 $\frac{d y}{d u}$ 乘以 $\frac{d u}{d x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = (- \frac{1}{x^{2}}) \cdot (2 u + 1)$

解题步骤 5

化简右边 $(- \frac{1}{x^{2}}) \cdot (2 u + 1)$ 。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x^{2}} \cdot (2 u) - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

解题步骤 5.2

乘以 $- \frac{1}{x^{2}} (2 u)$ 。

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解题步骤 5.2.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d y}{d x} = - 2 \frac{1}{x^{2}} \cdot u - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

解题步骤 5.2.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2}{x^{2}} \cdot u - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

解题步骤 5.2.3

组合 $\frac{- 2}{x^{2}}$ 和 $u$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

解题步骤 5.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 5.4

将负号移到分数的前面。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 6

将 $u$ 的值代入导数 $- \frac{2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (\frac{1}{x})}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 7

化简每一项。

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解题步骤 7.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\frac{2}{x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 7.2

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}}) - \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 7.3

合并。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x \cdot x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 7.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 7.4.1

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 7.4.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x \cdot x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 7.4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x^{1 + 2}} - \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 7.4.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x^{3}} - \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 7.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{2}}$

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