微积分学示例

$w = u^{3}$ , $u = \frac{t - 1}{t + 1}$

解题步骤 1

链式法则指的是 $w$ 对 $t$ 的导数等于 $w$ 对 $u$ 的导数乘以 $u$ 对 $t$ 的导数。

$\frac{d w}{d t} = \frac{d w}{d u} \cdot \frac{d u}{d t}$

解题步骤 2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 u^{2}$

解题步骤 3

求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 3.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = t - 1$ 且 $g (t) = t + 1$ 。

$\frac{(t + 1) \frac{d}{d t} [t - 1] - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $t - 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ 。

$\frac{(t + 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(t + 1) (1 + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.3

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(t + 1) (1 + 0) - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.4

化简表达式。

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解题步骤 3.2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(t + 1) \cdot 1 - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.4.2

将 $t + 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{t + 1 - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.5

根据加法法则， $t + 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ 。

$\frac{t + 1 - (t - 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])}{{(t + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{t + 1 - (t - 1) (1 + \frac{d}{d t} [1])}{{(t + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.7

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{t + 1 - (t - 1) (1 + 0)}{{(t + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.8

化简表达式。

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解题步骤 3.2.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{t + 1 - (t - 1) \cdot 1}{{(t + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.8.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{t + 1 - (t - 1)}{{(t + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

运用分配律。

$\frac{t + 1 - t - - 1}{{(t + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

化简分子。

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解题步骤 3.3.2.1

合并 $t + 1 - t - - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 3.3.2.1.1

从 $t$ 中减去 $t$ 。

$\frac{0 + 1 - - 1}{{(t + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1 - - 1}{{(t + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1 + 1}{{(t + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}$

解题步骤 4

将 $\frac{d w}{d u}$ 乘以 $\frac{d u}{d t}$ 。

$\frac{d w}{d t} = (\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}) \cdot (3 u^{2})$

解题步骤 5

化简右边 $(\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}) \cdot (3 u^{2})$ 。

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解题步骤 5.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d w}{d t} = 3 (\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}) \cdot u^{2}$

解题步骤 5.2

乘以 $3 \frac{2}{{(t + 1)}^{2}}$ 。

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解题步骤 5.2.1

组合 $3$ 和 $\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}$ 。

$\frac{d w}{d t} = \frac{3 \cdot 2}{{(t + 1)}^{2}} \cdot u^{2}$

解题步骤 5.2.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d w}{d t} = \frac{6}{{(t + 1)}^{2}} \cdot u^{2}$

解题步骤 5.3

组合 $\frac{6}{{(t + 1)}^{2}}$ 和 $u^{2}$ 。

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 u^{2}}{{(t + 1)}^{2}}$

解题步骤 6

将 $u$ 的值代入导数 $\frac{6 u^{2}}{{(t + 1)}^{2}}$ 。

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(\frac{t - 1}{t + 1})}^{2}}{{(t + 1)}^{2}}$

解题步骤 7

化简结果。

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解题步骤 7.1

对 $\frac{t - 1}{t + 1}$ 运用乘积法则。

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 (\frac{{(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{2}})}{{(t + 1)}^{2}}$

解题步骤 7.2

组合 $6$ 和 $\frac{{(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{2}}$ 。

$\frac{d w}{d t} = \frac{\frac{6 {(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{2}}}{{(t + 1)}^{2}}$

解题步骤 7.3

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{{(t + 1)}^{2}}$

解题步骤 7.4

合并。

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2} \cdot 1}{{(t + 1)}^{2} {(t + 1)}^{2}}$

解题步骤 7.5

通过指数相加将 ${(t + 1)}^{2}$ 乘以 ${(t + 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 7.5.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2} \cdot 1}{{(t + 1)}^{2 + 2}}$

解题步骤 7.5.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2} \cdot 1}{{(t + 1)}^{4}}$

解题步骤 7.6

将 $6 {(t - 1)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{4}}$

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