微积分学示例

$\frac{2 x}{z^{2} - y^{2}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ 等于 $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ ，其中 $f (z) = 2 x$ 且 $g (z) = z^{2} - y^{2}$ 。

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \frac{d}{d z} [2 x] - 1 \cdot 2 x \frac{d}{d z} [z^{2} - y^{2}]}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

因为 $2 x$ 对于 $z$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $z$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \cdot 0 - 1 \cdot 2 x \frac{d}{d z} [z^{2} - y^{2}]}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $z^{2} - y^{2}$ 对 $z$ 的导数是 $\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- y^{2}]$ 。

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- y^{2}])}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 等于 $n z^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (2 z + \frac{d}{d z} [- y^{2}])}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.4

因为 $- y^{2}$ 对于 $z$ 是常数，所以 $- y^{2}$ 对 $z$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (2 z + 0)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.5

将 $2 z$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (2 z)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{z^{2} \cdot 0 - y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (2 z)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2

化简分子。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

将 $z^{2}$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 - y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (2 z)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2

乘以 $- y^{2} \cdot 0$ 。

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解题步骤 3.2.1.2.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{0 + 0 y^{2} - 1 \cdot 2 x (2 z)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.2

将 $0$ 乘以 $y^{2}$ 。

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 2 x (2 z)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 2 \cdot 2 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.4

乘以 $- 1 \cdot 2 \cdot 2$ 。

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解题步骤 3.2.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{0 + 0 - 2 \cdot 2 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.4.2

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{0 + 0 - 4 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

合并 $0 + 0 - 4 x z$ 中相反的项。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0 - 4 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2.2.2

从 $0$ 中减去 $4 x z$ 。

$\frac{- 4 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.4

化简分母。

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解题步骤 3.4.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = z$ 和 $b = y$ 。

$- \frac{4 x z}{{((z + y) (z - y))}^{2}}$

解题步骤 3.4.2

对 $(z + y) (z - y)$ 运用乘积法则。

$- \frac{4 x z}{{(z + y)}^{2} {(z - y)}^{2}}$

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