微积分学示例

$R = 5 \tan^{2} (3 π t)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d t} (R) = \frac{d}{d t} (5 \tan^{2} (3 π t))$

解题步骤 2

$R$ 对 $t$ 的导数为 $R'$ 。

$R'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $5$ 对于 $t$ 是常数，所以 $5 \tan^{2} (3 π t)$ 对 $t$ 的导数是 $5 \frac{d}{d t} [\tan^{2} (3 π t)]$ 。

$5 \frac{d}{d t} [\tan^{2} (3 π t)]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{2}$ 且 $g (t) = \tan (3 π t)$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\tan (3 π t)$ 。

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\tan (3 π t)])$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$5 (2 u_{1} \frac{d}{d t} [\tan (3 π t)])$

解题步骤 3.2.3

使用 $\tan (3 π t)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$5 (2 \tan (3 π t) \frac{d}{d t} [\tan (3 π t)])$

解题步骤 3.3

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$10 (\tan (3 π t) \frac{d}{d t} [\tan (3 π t)])$

解题步骤 3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \tan (t)$ 且 $g (t) = 3 π t$ 。

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解题步骤 3.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $3 π t$ 。

$10 \tan (3 π t) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d t} [3 π t])$

解题步骤 3.4.2

$\tan (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\sec^{2} (u_{2})$ 。

$10 \tan (3 π t) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d t} [3 π t])$

解题步骤 3.4.3

使用 $3 π t$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$10 \tan (3 π t) (\sec^{2} (3 π t) \frac{d}{d t} [3 π t])$

解题步骤 3.5

求微分。

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解题步骤 3.5.1

因为 $3 π$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3 π t$ 对 $t$ 的导数是 $3 π \frac{d}{d t} [t]$ 。

$10 \tan (3 π t) \sec^{2} (3 π t) (3 π \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 3.5.2

将 $3$ 乘以 $10$ 。

$30 \tan (3 π t) \sec^{2} (3 π t) (π \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 3.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$30 \tan (3 π t) \sec^{2} (3 π t) (π \cdot 1)$

解题步骤 3.5.4

化简表达式。

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解题步骤 3.5.4.1

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$30 \tan (3 π t) \sec^{2} (3 π t) π$

解题步骤 3.5.4.2

重新排序 $30 \tan (3 π t) \sec^{2} (3 π t) π$ 的因式。

$30 π \sec^{2} (3 π t) \tan (3 π t)$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$R' = 30 π \sec^{2} (3 π t) \tan (3 π t)$

解题步骤 5

使用 $\frac{d R}{d t}$ 替换 $R'$ 。

$\frac{d R}{d t} = 30 π \sec^{2} (3 π t) \tan (3 π t)$

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