微积分学示例

$p^{2} + 2 p + q = 16$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d p} (p^{2} + 2 p + q) = \frac{d}{d p} (16)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $p^{2} + 2 p + q$ 对 $p$ 的导数是 $\frac{d}{d p} [p^{2}] + \frac{d}{d p} [2 p] + \frac{d}{d p} [q]$ 。

$\frac{d}{d p} [p^{2}] + \frac{d}{d p} [2 p] + \frac{d}{d p} [q]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ 等于 $n p^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 p + \frac{d}{d p} [2 p] + \frac{d}{d p} [q]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d p} [2 p]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $2$ 对于 $p$ 是常数，所以 $2 p$ 对 $p$ 的导数是 $2 \frac{d}{d p} [p]$ 。

$2 p + 2 \frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [q]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ 等于 $n p^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 p + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d p} [q]$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 p + 2 + \frac{d}{d p} [q]$

解题步骤 2.3

将 $\frac{d}{d p} [q]$ 重写为 $q'$ 。

$2 p + 2 + q'$

解题步骤 3

因为 $16$ 对于 $p$ 是常数，所以 $16$ 对 $p$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$2 p + 2 + q' = 0$

解题步骤 5

将所有不包含 $q'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.1

从等式两边同时减去 $2 p$ 。

$2 + q' = - 2 p$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$q' = - 2 p - 2$

解题步骤 6

使用 $\frac{d q}{d p}$ 替换 $q'$ 。

$\frac{d q}{d p} = - 2 p - 2$

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