微积分学示例

$p = \frac{144 r}{{(r + 0.6)}^{2}}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d r} (p) = \frac{d}{d r} (\frac{144 r}{{(r + 0.6)}^{2}})$

解题步骤 2

$p$ 对 $r$ 的导数为 $p'$ 。

$p'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $144$ 对于 $r$ 是常数，所以 $\frac{144 r}{{(r + 0.6)}^{2}}$ 对 $r$ 的导数是 $144 \frac{d}{d r} [\frac{r}{{(r + 0.6)}^{2}}]$ 。

$144 \frac{d}{d r} [\frac{r}{{(r + 0.6)}^{2}}]$

解题步骤 3.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [\frac{f (r)}{g (r)}]$ 等于 $\frac{g (r) \frac{d}{d r} [f (r)] - f (r) \frac{d}{d r} [g (r)]}{{g (r)}^{2}}$ ，其中 $f (r) = r$ 且 $g (r) = {(r + 0.6)}^{2}$ 。

$144 \frac{{(r + 0.6)}^{2} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r + 0.6)}^{2}]}{{({(r + 0.6)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.3.1

将 ${({(r + 0.6)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$144 \frac{{(r + 0.6)}^{2} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r + 0.6)}^{2}]}{{(r + 0.6)}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 3.3.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$144 \frac{{(r + 0.6)}^{2} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r + 0.6)}^{2}]}{{(r + 0.6)}^{4}}$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$144 \frac{{(r + 0.6)}^{2} \cdot 1 - r \frac{d}{d r} [{(r + 0.6)}^{2}]}{{(r + 0.6)}^{4}}$

解题步骤 3.3.3

将 ${(r + 0.6)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$144 \frac{{(r + 0.6)}^{2} - r \frac{d}{d r} [{(r + 0.6)}^{2}]}{{(r + 0.6)}^{4}}$

解题步骤 3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ 等于 $f' (g (r)) g' (r)$ ，其中 $f (r) = r^{2}$ 且 $g (r) = r + 0.6$ 。

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解题步骤 3.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $r + 0.6$ 。

$144 \frac{{(r + 0.6)}^{2} - r (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d r} [r + 0.6])}{{(r + 0.6)}^{4}}$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$144 \frac{{(r + 0.6)}^{2} - r (2 u \frac{d}{d r} [r + 0.6])}{{(r + 0.6)}^{4}}$

解题步骤 3.4.3

使用 $r + 0.6$ 替换所有出现的 $u$ 。

$144 \frac{{(r + 0.6)}^{2} - r (2 (r + 0.6) \frac{d}{d r} [r + 0.6])}{{(r + 0.6)}^{4}}$

解题步骤 3.5

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 3.5.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$144 \frac{{(r + 0.6)}^{2} - 2 r ((r + 0.6) \frac{d}{d r} [r + 0.6])}{{(r + 0.6)}^{4}}$

解题步骤 3.5.2

从 ${(r + 0.6)}^{2} - 2 r ((r + 0.6) \frac{d}{d r} [r + 0.6])$ 中分解出因数 $r + 0.6$ 。

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解题步骤 3.5.2.1

从 ${(r + 0.6)}^{2}$ 中分解出因数 $r + 0.6$ 。

$144 \frac{(r + 0.6) (r + 0.6) - 2 r (r + 0.6) \frac{d}{d r} [r + 0.6]}{{(r + 0.6)}^{4}}$

解题步骤 3.5.2.2

从 $- 2 r (r + 0.6) \frac{d}{d r} [r + 0.6]$ 中分解出因数 $r + 0.6$ 。

$144 \frac{(r + 0.6) (r + 0.6) + (r + 0.6) (- 2 r \frac{d}{d r} [r + 0.6])}{{(r + 0.6)}^{4}}$

解题步骤 3.5.2.3

从 $(r + 0.6) (r + 0.6) + (r + 0.6) (- 2 r \frac{d}{d r} [r + 0.6])$ 中分解出因数 $r + 0.6$ 。

$144 \frac{(r + 0.6) (r + 0.6 - 2 r \frac{d}{d r} [r + 0.6])}{{(r + 0.6)}^{4}}$

解题步骤 3.6

约去公因数。

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解题步骤 3.6.1

从 ${(r + 0.6)}^{4}$ 中分解出因数 $r + 0.6$ 。

$144 \frac{(r + 0.6) (r + 0.6 - 2 r \frac{d}{d r} [r + 0.6])}{(r + 0.6) {(r + 0.6)}^{3}}$

解题步骤 3.6.2

约去公因数。

$144 \frac{(r + 0.6) (r + 0.6 - 2 r \frac{d}{d r} [r + 0.6])}{(r + 0.6) {(r + 0.6)}^{3}}$

解题步骤 3.6.3

重写表达式。

$144 \frac{r + 0.6 - 2 r \frac{d}{d r} [r + 0.6]}{{(r + 0.6)}^{3}}$

解题步骤 3.7

根据加法法则， $r + 0.6$ 对 $r$ 的导数是 $\frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [0.6]$ 。

$144 \frac{r + 0.6 - 2 r (\frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [0.6])}{{(r + 0.6)}^{3}}$

解题步骤 3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$144 \frac{r + 0.6 - 2 r (1 + \frac{d}{d r} [0.6])}{{(r + 0.6)}^{3}}$

解题步骤 3.9

因为 $0.6$ 对于 $r$ 是常数，所以 $0.6$ 对 $r$ 的导数为 $0$ 。

$144 \frac{r + 0.6 - 2 r (1 + 0)}{{(r + 0.6)}^{3}}$

解题步骤 3.10

化简项。

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解题步骤 3.10.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$144 \frac{r + 0.6 - 2 r \cdot 1}{{(r + 0.6)}^{3}}$

解题步骤 3.10.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$144 \frac{r + 0.6 - 2 r}{{(r + 0.6)}^{3}}$

解题步骤 3.10.3

从 $r$ 中减去 $2 r$ 。

$144 \frac{- r + 0.6}{{(r + 0.6)}^{3}}$

解题步骤 3.10.4

组合 $144$ 和 $\frac{- r + 0.6}{{(r + 0.6)}^{3}}$ 。

$\frac{144 (- r + 0.6)}{{(r + 0.6)}^{3}}$

解题步骤 3.11

化简。

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解题步骤 3.11.1

运用分配律。

$\frac{144 (- r) + 144 \cdot 0.6}{{(r + 0.6)}^{3}}$

解题步骤 3.11.2

化简每一项。

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解题步骤 3.11.2.1

将 $- 1$ 乘以 $144$ 。

$\frac{- 144 r + 144 \cdot 0.6}{{(r + 0.6)}^{3}}$

解题步骤 3.11.2.2

将 $144$ 乘以 $0.6$ 。

$\frac{- 144 r + 86.4}{{(r + 0.6)}^{3}}$

解题步骤 3.11.3

从 $- 144 r + 86.4$ 中分解出因数 $28.8$ 。

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解题步骤 3.11.3.1

从 $- 144 r$ 中分解出因数 $28.8$ 。

$\frac{28.8 (- 5 r) + 86.4}{{(r + 0.6)}^{3}}$

解题步骤 3.11.3.2

从 $86.4$ 中分解出因数 $28.8$ 。

$\frac{28.8 (- 5 r) + 28.8 (3)}{{(r + 0.6)}^{3}}$

解题步骤 3.11.3.3

从 $28.8 (- 5 r) + 28.8 (3)$ 中分解出因数 $28.8$ 。

$\frac{28.8 (- 5 r + 3)}{{(r + 0.6)}^{3}}$

解题步骤 3.11.4

从 $- 5 r$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{28.8 (- (5 r) + 3)}{{(r + 0.6)}^{3}}$

解题步骤 3.11.5

将 $3$ 重写为 $- 1 (- 3)$ 。

$\frac{28.8 (- (5 r) - 1 (- 3))}{{(r + 0.6)}^{3}}$

解题步骤 3.11.6

从 $- (5 r) - 1 (- 3)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{28.8 (- (5 r - 3))}{{(r + 0.6)}^{3}}$

解题步骤 3.11.7

将 $- (5 r - 3)$ 重写为 $- 1 (5 r - 3)$ 。

$\frac{28.8 (- 1 (5 r - 3))}{{(r + 0.6)}^{3}}$

解题步骤 3.11.8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{28.8 (5 r - 3)}{{(r + 0.6)}^{3}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$p' = - \frac{28.8 (5 r - 3)}{{(r + 0.6)}^{3}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d p}{d r}$ 替换 $p'$ 。

$\frac{d p}{d r} = - \frac{28.8 (5 r - 3)}{{(r + 0.6)}^{3}}$

微积分学 示例

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