微积分学示例

$P = \frac{B^{3} r}{R^{2} + R r + r^{2}}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d r} (P) = \frac{d}{d r} (\frac{B^{3} r}{R^{2} + R r + r^{2}})$

解题步骤 2

$P$ 对 $r$ 的导数为 $P'$ 。

$P'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $B^{3}$ 对于 $r$ 是常数，所以 $\frac{B^{3} r}{R^{2} + R r + r^{2}}$ 对 $r$ 的导数是 $B^{3} \frac{d}{d r} [\frac{r}{R^{2} + R r + r^{2}}]$ 。

$B^{3} \frac{d}{d r} [\frac{r}{R^{2} + R r + r^{2}}]$

解题步骤 3.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [\frac{f (r)}{g (r)}]$ 等于 $\frac{g (r) \frac{d}{d r} [f (r)] - f (r) \frac{d}{d r} [g (r)]}{{g (r)}^{2}}$ ，其中 $f (r) = r$ 且 $g (r) = R^{2} + R r + r^{2}$ 。

$B^{3} \frac{(R^{2} + R r + r^{2}) \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [R^{2} + R r + r^{2}]}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$B^{3} \frac{(R^{2} + R r + r^{2}) \cdot 1 - r \frac{d}{d r} [R^{2} + R r + r^{2}]}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

将 $R^{2} + R r + r^{2}$ 乘以 $1$ 。

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r \frac{d}{d r} [R^{2} + R r + r^{2}]}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

根据加法法则， $R^{2} + R r + r^{2}$ 对 $r$ 的导数是 $\frac{d}{d r} [R^{2}] + \frac{d}{d r} [R r] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$ 。

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (\frac{d}{d r} [R^{2}] + \frac{d}{d r} [R r] + \frac{d}{d r} [r^{2}])}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.4

因为 $R^{2}$ 对于 $r$ 是常数，所以 $R^{2}$ 对 $r$ 的导数为 $0$ 。

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (0 + \frac{d}{d r} [R r] + \frac{d}{d r} [r^{2}])}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d r} [R r]$ 相加。

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (\frac{d}{d r} [R r] + \frac{d}{d r} [r^{2}])}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.6

因为 $R$ 对于 $r$ 是常数，所以 $R r$ 对 $r$ 的导数是 $R \frac{d}{d r} [r]$ 。

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (R \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [r^{2}])}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (R \cdot 1 + \frac{d}{d r} [r^{2}])}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.8

将 $R$ 乘以 $1$ 。

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (R + \frac{d}{d r} [r^{2}])}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (R + 2 r)}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.10

组合 $B^{3}$ 和 $\frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (R + 2 r)}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$ 。

$\frac{B^{3} (R^{2} + R r + r^{2} - r (R + 2 r))}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

运用分配律。

$\frac{B^{3} (R^{2} + R r + r^{2} - r R - r (2 r))}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.4.2

运用分配律。

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} (R r) + B^{3} r^{2} + B^{3} (- r R) + B^{3} (- r (2 r))}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.4.3

化简分子。

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解题步骤 3.4.3.1

合并 $B^{3} R^{2} + B^{3} (R r) + B^{3} r^{2} + B^{3} (- r R) + B^{3} (- r (2 r))$ 中相反的项。

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解题步骤 3.4.3.1.1

按照 $B^{3} (R r)$ 和 $B^{3} (- r R)$ 重新排列因数。

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} R r + B^{3} r^{2} - B^{3} R r + B^{3} (- r (2 r))}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.4.3.1.2

从 $B^{3} R r$ 中减去 $B^{3} R r$ 。

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2} + 0 + B^{3} (- r (2 r))}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.4.3.1.3

将 $B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2} + B^{3} (- r (2 r))}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.4.3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.4.3.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2} - 1 \cdot 2 B^{3} r \cdot r}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.4.3.2.2

通过指数相加将 $r$ 乘以 $r$ 。

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解题步骤 3.4.3.2.2.1

移动 $r$ 。

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2} - 1 \cdot 2 B^{3} (r \cdot r)}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.4.3.2.2.2

将 $r$ 乘以 $r$ 。

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2} - 1 \cdot 2 B^{3} r^{2}}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.4.3.2.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2} - 2 B^{3} r^{2}}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.4.3.3

从 $B^{3} r^{2}$ 中减去 $2 B^{3} r^{2}$ 。

$\frac{B^{3} R^{2} - B^{3} r^{2}}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.4.4

重新排序项。

$\frac{B^{3} R^{2} - B^{3} r^{2}}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$

解题步骤 3.4.5

化简分子。

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解题步骤 3.4.5.1

从 $B^{3} R^{2} - B^{3} r^{2}$ 中分解出因数 $B^{3}$ 。

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解题步骤 3.4.5.1.1

从 $B^{3} R^{2}$ 中分解出因数 $B^{3}$ 。

$\frac{B^{3} (R^{2}) - B^{3} r^{2}}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$

解题步骤 3.4.5.1.2

从 $- B^{3} r^{2}$ 中分解出因数 $B^{3}$ 。

$\frac{B^{3} (R^{2}) + B^{3} (- r^{2})}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$

解题步骤 3.4.5.1.3

从 $B^{3} (R^{2}) + B^{3} (- r^{2})$ 中分解出因数 $B^{3}$ 。

$\frac{B^{3} (R^{2} - r^{2})}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$

解题步骤 3.4.5.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = R$ 和 $b = r$ 。

$\frac{B^{3} (R + r) (R - r)}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$P' = \frac{B^{3} (R + r) (R - r)}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d P}{d r}$ 替换 $P'$ 。

$\frac{d P}{d r} = \frac{B^{3} (R + r) (R - r)}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$

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