微积分学示例

$s = 2 \cot (t + e^{- t})$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (2 \cot (t + e^{- t}))$

解题步骤 2

$s$ 对 $t$ 的导数为 $s'$ 。

$s'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 \cot (t + e^{- t})$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [\cot (t + e^{- t})]$ 。

$2 \frac{d}{d t} [\cot (t + e^{- t})]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \cot (t)$ 且 $g (t) = t + e^{- t}$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $t + e^{- t}$ 。

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [\cot (u_{1})] \frac{d}{d t} [t + e^{- t}])$

解题步骤 3.2.2

$\cot (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \csc^{2} (u_{1})$ 。

$2 (- \csc^{2} (u_{1}) \frac{d}{d t} [t + e^{- t}])$

解题步骤 3.2.3

使用 $t + e^{- t}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 (- \csc^{2} (t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [t + e^{- t}])$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 (\csc^{2} (t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [t + e^{- t}])$

解题步骤 3.3.2

根据加法法则， $t + e^{- t}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [e^{- t}]$ 。

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [e^{- t}])$

解题步骤 3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 + \frac{d}{d t} [e^{- t}])$

解题步骤 3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = - t$ 。

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解题步骤 3.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- t$ 。

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- t])$

解题步骤 3.4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 + e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- t])$

解题步骤 3.4.3

使用 $- t$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 + e^{- t} \frac{d}{d t} [- t])$

解题步骤 3.5

求微分。

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解题步骤 3.5.1

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- t$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [t]$ 。

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 + e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]))$

解题步骤 3.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 + e^{- t} (- 1 \cdot 1))$

解题步骤 3.5.3

化简表达式。

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解题步骤 3.5.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 + e^{- t} \cdot - 1)$

解题步骤 3.5.3.2

将 $- 1$ 移到 $e^{- t}$ 的左侧。

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 - 1 \cdot e^{- t})$

解题步骤 3.5.3.3

将 $- 1 e^{- t}$ 重写为 $- e^{- t}$ 。

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 - e^{- t})$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$s' = - 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 - e^{- t})$

解题步骤 5

使用 $\frac{d s}{d t}$ 替换 $s'$ 。

$\frac{d s}{d t} = - 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 - e^{- t})$

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