微积分学示例

$s = 10 + 64 t - 16 t^{2}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (10 + 64 t - 16 t^{2})$

解题步骤 2

因为 $s$ 对于 $t$ 是常数，所以 $s$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

求微分。

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解题步骤 3.1.1

根据加法法则， $10 + 64 t - 16 t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [64 t] + \frac{d}{d t} [- 16 t^{2}]$ 。

$\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [64 t] + \frac{d}{d t} [- 16 t^{2}]$

解题步骤 3.1.2

因为 $10$ 对于 $t$ 是常数，所以 $10$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d t} [64 t] + \frac{d}{d t} [- 16 t^{2}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d t} [64 t]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $64$ 对于 $t$ 是常数，所以 $64 t$ 对 $t$ 的导数是 $64 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$0 + 64 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 16 t^{2}]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 64 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 16 t^{2}]$

解题步骤 3.2.3

将 $64$ 乘以 $1$ 。

$0 + 64 + \frac{d}{d t} [- 16 t^{2}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d t} [- 16 t^{2}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- 16$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 16 t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $- 16 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$0 + 64 - 16 \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 + 64 - 16 (2 t)$

解题步骤 3.3.3

将 $2$ 乘以 $- 16$ 。

$0 + 64 - 32 t$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

将 $0$ 和 $64$ 相加。

$64 - 32 t$

解题步骤 3.4.2

重新排序项。

$- 32 t + 64$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$0 = - 32 t + 64$

解题步骤 5

求解 $t$ 。

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解题步骤 5.1

因为 $t$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$- 32 t + 64 = 0$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $64$ 。

$- 32 t = - 64$

解题步骤 5.3

将 $- 32 t = - 64$ 中的每一项除以 $- 32$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $- 32 t = - 64$ 中的每一项都除以 $- 32$ 。

$\frac{- 32 t}{- 32} = \frac{- 64}{- 32}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $- 32$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 32 t}{- 32} = \frac{- 64}{- 32}$

解题步骤 5.3.2.1.2

用 $t$ 除以 $1$ 。

$t = \frac{- 64}{- 32}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

用 $- 64$ 除以 $- 32$ 。

$t = 2$

解题步骤 6

使用 $\frac{d S}{d t}$ 替换 $S'$ 。

$\frac{d S}{d t} = 2$

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