微积分学示例

$s = 10 \sqrt{t^{4} + 25} - 50$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t^{4} + 25}$ 重写成 ${(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$s = 10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}} - 50$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}} - 50)$

解题步骤 3

$s$ 对 $t$ 的导数为 $s'$ 。

$s'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}} - 50$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 50]$ 。

$\frac{d}{d t} [10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 50]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d t} [10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}]$ 。

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解题步骤 4.2.1

因为 $10$ 对于 $t$ 是常数，所以 $10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ 对 $t$ 的导数是 $10 \frac{d}{d t} [{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}]$ 。

$10 \frac{d}{d t} [{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 50]$

解题步骤 4.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (t) = t^{4} + 25$ 。

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解题步骤 4.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $t^{4} + 25$ 。

$10 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t^{4} + 25]) + \frac{d}{d t} [- 50]$

解题步骤 4.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$10 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{4} + 25]) + \frac{d}{d t} [- 50]$

解题步骤 4.2.2.3

使用 $t^{4} + 25$ 替换所有出现的 $u$ 。

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{4} + 25]) + \frac{d}{d t} [- 50]$

解题步骤 4.2.3

根据加法法则， $t^{4} + 25$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [25]$ 。

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [25])) + \frac{d}{d t} [- 50]$

解题步骤 4.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 t^{3} + \frac{d}{d t} [25])) + \frac{d}{d t} [- 50]$

解题步骤 4.2.5

因为 $25$ 对于 $t$ 是常数，所以 $25$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

解题步骤 4.2.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

解题步骤 4.2.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

解题步骤 4.2.8

在公分母上合并分子。

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

解题步骤 4.2.9

化简分子。

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解题步骤 4.2.9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1 - 2}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

解题步骤 4.2.9.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{- 1}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

解题步骤 4.2.10

将负号移到分数的前面。

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

解题步骤 4.2.11

将 $4 t^{3}$ 和 $0$ 相加。

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}} (4 t^{3})) + \frac{d}{d t} [- 50]$

解题步骤 4.2.12

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$10 (\frac{{(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (4 t^{3})) + \frac{d}{d t} [- 50]$

解题步骤 4.2.13

组合 $4$ 和 $\frac{{(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$10 (\frac{4 {(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} t^{3}) + \frac{d}{d t} [- 50]$

解题步骤 4.2.14

组合 $\frac{4 {(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $t^{3}$ 。

$10 \frac{4 {(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}} t^{3}}{2} + \frac{d}{d t} [- 50]$

解题步骤 4.2.15

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$10 \frac{4 t^{3}}{2 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

解题步骤 4.2.16

从 $4 t^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$10 \frac{2 (2 t^{3})}{2 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

解题步骤 4.2.17

约去公因数。

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解题步骤 4.2.17.1

从 $2 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$10 \frac{2 (2 t^{3})}{2 ({(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d t} [- 50]$

解题步骤 4.2.17.2

约去公因数。

$10 \frac{2 (2 t^{3})}{2 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

解题步骤 4.2.17.3

重写表达式。

$10 \frac{2 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

解题步骤 4.2.18

组合 $10$ 和 $\frac{2 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{10 (2 t^{3})}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

解题步骤 4.2.19

将 $2$ 乘以 $10$ 。

$\frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

解题步骤 4.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.3.1

因为 $- 50$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 50$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + 0$

解题步骤 4.3.2

将 $\frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$s' = \frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d s}{d t}$ 替换 $s'$ 。

$\frac{d s}{d t} = \frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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