微积分学示例

$s = \sqrt{t} + 7 t^{2}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t}$ 重写成 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$s = t^{\frac{1}{2}} + 7 t^{2}$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (t^{\frac{1}{2}} + 7 t^{2})$

解题步骤 3

$s$ 对 $t$ 的导数为 $s'$ 。

$s'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $t^{\frac{1}{2}} + 7 t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$ 。

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ 。

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解题步骤 4.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

解题步骤 4.2.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

解题步骤 4.2.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

解题步骤 4.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

解题步骤 4.2.5

化简分子。

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解题步骤 4.2.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

解题步骤 4.2.5.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

解题步骤 4.2.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

解题步骤 4.3

计算 $\frac{d}{d t} [7 t^{2}]$ 。

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解题步骤 4.3.1

因为 $7$ 对于 $t$ 是常数，所以 $7 t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $7 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + 7 \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 4.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + 7 (2 t)$

解题步骤 4.3.3

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + 14 t$

解题步骤 4.4

化简。

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解题步骤 4.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} + 14 t$

解题步骤 4.4.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 14 t$

解题步骤 4.4.3

重新排序项。

$14 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$s' = 14 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d s}{d t}$ 替换 $s'$ 。

$\frac{d s}{d t} = 14 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

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