微积分学示例

$s = t^{2} + \frac{9}{t^{2}}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (t^{2} + \frac{9}{t^{2}})$

解题步骤 2

$s$ 对 $t$ 的导数为 $s'$ 。

$s'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

求微分。

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解题步骤 3.1.1

根据加法法则， $t^{2} + \frac{9}{t^{2}}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [\frac{9}{t^{2}}]$ 。

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [\frac{9}{t^{2}}]$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 t + \frac{d}{d t} [\frac{9}{t^{2}}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d t} [\frac{9}{t^{2}}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $9$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{9}{t^{2}}$ 对 $t$ 的导数是 $9 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$ 。

$2 t + 9 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$

解题步骤 3.2.2

将 $\frac{1}{t^{2}}$ 重写为 ${(t^{2})}^{- 1}$ 。

$2 t + 9 \frac{d}{d t} [{(t^{2})}^{- 1}]$

解题步骤 3.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{- 1}$ 且 $g (t) = t^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $t^{2}$ 。

$2 t + 9 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2}])$

解题步骤 3.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$2 t + 9 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

解题步骤 3.2.3.3

使用 $t^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 t + 9 (- {(t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

解题步骤 3.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 t + 9 (- {(t^{2})}^{- 2} (2 t))$

解题步骤 3.2.5

将 ${(t^{2})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 t + 9 (- t^{2 \cdot - 2} (2 t))$

解题步骤 3.2.5.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$2 t + 9 (- t^{- 4} (2 t))$

解题步骤 3.2.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 t + 9 (- 2 t^{- 4} t)$

解题步骤 3.2.7

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 t + 9 (- 2 (t^{1} t^{- 4}))$

解题步骤 3.2.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 t + 9 (- 2 t^{1 - 4})$

解题步骤 3.2.9

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$2 t + 9 (- 2 t^{- 3})$

解题步骤 3.2.10

将 $- 2$ 乘以 $9$ 。

$2 t - 18 t^{- 3}$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$2 t - 18 \frac{1}{t^{3}}$

解题步骤 3.3.2

合并项。

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解题步骤 3.3.2.1

组合 $- 18$ 和 $\frac{1}{t^{3}}$ 。

$2 t + \frac{- 18}{t^{3}}$

解题步骤 3.3.2.2

将负号移到分数的前面。

$2 t - \frac{18}{t^{3}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$s' = 2 t - \frac{18}{t^{3}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d s}{d t}$ 替换 $s'$ 。

$\frac{d s}{d t} = 2 t - \frac{18}{t^{3}}$

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