微积分学示例

$r = 70 (30 x - x^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (r) = \frac{d}{d x} (70 (30 x - x^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 2

$r$ 对 $x$ 的导数为 $r'$ 。

$r'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $70$ 对于 $x$ 是常数，所以 $70 (30 x - x^{\frac{3}{2}})$ 对 $x$ 的导数是 $70 \frac{d}{d x} [30 x - x^{\frac{3}{2}}]$ 。

$70 \frac{d}{d x} [30 x - x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $30 x - x^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}]$ 。

$70 (\frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}])$

解题步骤 3.3

因为 $30$ 对于 $x$ 是常数，所以 $30 x$ 对 $x$ 的导数是 $30 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$70 (30 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}])$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$70 (30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}])$

解题步骤 3.5

将 $30$ 乘以 $1$ 。

$70 (30 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}])$

解题步骤 3.6

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ 。

$70 (30 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])$

解题步骤 3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$70 (30 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}))$

解题步骤 3.8

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$70 (30 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

解题步骤 3.9

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$70 (30 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 3.10

在公分母上合并分子。

$70 (30 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 3.11

化简分子。

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解题步骤 3.11.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$70 (30 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}))$

解题步骤 3.11.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$70 (30 - (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 3.12

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$70 (30 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 3.13

化简。

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解题步骤 3.13.1

运用分配律。

$70 \cdot 30 + 70 (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 3.13.2

合并项。

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解题步骤 3.13.2.1

将 $70$ 乘以 $30$ 。

$2100 + 70 (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 3.13.2.2

将 $- 1$ 乘以 $70$ 。

$2100 - 70 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 3.13.2.3

组合 $- 70$ 和 $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$2100 + \frac{- 70 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

解题步骤 3.13.2.4

将 $3$ 乘以 $- 70$ 。

$2100 + \frac{- 210 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 3.13.2.5

从 $- 210 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2100 + \frac{2 (- 105 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

解题步骤 3.13.2.6

约去公因数。

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解题步骤 3.13.2.6.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2100 + \frac{2 (- 105 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

解题步骤 3.13.2.6.2

约去公因数。

$2100 + \frac{2 (- 105 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.13.2.6.3

重写表达式。

$2100 + \frac{- 105 x^{\frac{1}{2}}}{1}$

解题步骤 3.13.2.6.4

用 $- 105 x^{\frac{1}{2}}$ 除以 $1$ 。

$2100 - 105 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 3.13.3

重新排序项。

$- 105 x^{\frac{1}{2}} + 2100$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$r' = - 105 x^{\frac{1}{2}} + 2100$

解题步骤 5

使用 $\frac{d r}{d x}$ 替换 $r'$ 。

$\frac{d r}{d x} = - 105 x^{\frac{1}{2}} + 2100$

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