微积分学示例

$v = \frac{1}{3} \cdot (p r^{2} h)$

解题步骤 1

将右边重写成指数为有理数的形式。

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解题步骤 1.1

去掉圆括号。

$r' = \frac{1}{3} \cdot ((p r^{2}) h)$

解题步骤 1.2

去掉圆括号。

$r' = \frac{1}{3} \cdot (p r^{2} h)$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d r'} r' = \frac{d}{d r'} (\frac{1}{3} \cdot (p r^{2} h))$

解题步骤 3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [{r'}^{n}]$ 等于 $n {r'}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 4.1.1

组合 $p$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{d}{d v} [\frac{p}{3} \cdot (r^{2} h)]$

解题步骤 4.1.2

合并分数。

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解题步骤 4.1.2.1

组合 $r^{2}$ 和 $\frac{p}{3}$ 。

$\frac{d}{d v} [\frac{r^{2} p}{3} \cdot h]$

解题步骤 4.1.2.2

组合 $\frac{r^{2} p}{3}$ 和 $h$ 。

$\frac{d}{d v} [\frac{r^{2} p h}{3}]$

解题步骤 4.1.3

因为 $\frac{p h}{3}$ 对于 $r'$ 是常数，所以 $\frac{r^{2} p h}{3}$ 对 $r'$ 的导数是 $\frac{p h}{3} \frac{d}{d v} [r^{2}]$ 。

$\frac{p h}{3} \frac{d}{d v} [r^{2}]$

解题步骤 4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [f (g (r'))]$ 等于 $f' (g (r')) g' (r')$ ，其中 $f (r') = {r'}^{2}$ 且 $g (r') = r$ 。

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解题步骤 4.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $r$ 。

$\frac{p h}{3} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d v} [r])$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{p h}{3} (2 u \frac{d}{d v} [r])$

解题步骤 4.2.3

使用 $r$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{p h}{3} (2 r \frac{d}{d v} [r])$

解题步骤 4.3

合并分数。

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解题步骤 4.3.1

组合 $2$ 和 $\frac{p h}{3}$ 。

$\frac{2 (p h)}{3} (r \frac{d}{d v} [r])$

解题步骤 4.3.2

组合 $r$ 和 $\frac{2 (p h)}{3}$ 。

$\frac{r (2 (p h))}{3} \frac{d}{d v} [r]$

解题步骤 4.3.3

将 $2$ 移到 $r$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot r p h}{3} \frac{d}{d v} [r]$

解题步骤 4.4

将 $\frac{d}{d v} [r]$ 重写为 $r'$ 。

$\frac{2 r p h}{3} r'$

解题步骤 4.5

组合 $\frac{2 r p h}{3}$ 和 $r'$ 。

$\frac{2 r p h r'}{3}$

解题步骤 4.6

重新排序项。

$\frac{2 h p r r'}{3}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$1 = \frac{2 h p r r'}{3}$

解题步骤 6

求解 $r'$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $\frac{2 h p r r'}{3} = 1$ 。

$\frac{2 h p r r'}{3} = 1$

解题步骤 6.2

等式两边同时乘以 $\frac{3}{2}$ 。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 h p r r'}{3} = \frac{3}{2} \cdot 1$

解题步骤 6.3

化简方程的两边。

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解题步骤 6.3.1

化简左边。

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解题步骤 6.3.1.1

化简 $\frac{3}{2} \cdot \frac{2 h p r r'}{3}$ 。

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解题步骤 6.3.1.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 h p r r'}{3} = \frac{3}{2} \cdot 1$

解题步骤 6.3.1.1.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{2} (2 h p r r') = \frac{3}{2} \cdot 1$

解题步骤 6.3.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1.1.2.1

从 $2 h p r r'$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} (2 (h p r r')) = \frac{3}{2} \cdot 1$

解题步骤 6.3.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} (2 (h p r r')) = \frac{3}{2} \cdot 1$

解题步骤 6.3.1.1.2.3

重写表达式。

$h p r r' = \frac{3}{2} \cdot 1$

解题步骤 6.3.2

化简右边。

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解题步骤 6.3.2.1

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $1$ 。

$h p r r' = \frac{3}{2}$

解题步骤 6.4

将 $h p r r' = \frac{3}{2}$ 中的每一项除以 $h p r$ 并化简。

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解题步骤 6.4.1

将 $h p r r' = \frac{3}{2}$ 中的每一项都除以 $h p r$ 。

$\frac{h p r r'}{h p r} = \frac{\frac{3}{2}}{h p r}$

解题步骤 6.4.2

化简左边。

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解题步骤 6.4.2.1

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{h p r r'}{h p r} = \frac{\frac{3}{2}}{h p r}$

解题步骤 6.4.2.1.2

重写表达式。

$\frac{p r r'}{p r} = \frac{\frac{3}{2}}{h p r}$

解题步骤 6.4.2.2

约去 $p$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{p r r'}{p r} = \frac{\frac{3}{2}}{h p r}$

解题步骤 6.4.2.2.2

重写表达式。

$\frac{r r'}{r} = \frac{\frac{3}{2}}{h p r}$

解题步骤 6.4.2.3

约去 $r$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.2.3.1

约去公因数。

$\frac{r r'}{r} = \frac{\frac{3}{2}}{h p r}$

解题步骤 6.4.2.3.2

用 $r'$ 除以 $1$ 。

$r' = \frac{\frac{3}{2}}{h p r}$

解题步骤 6.4.3

化简右边。

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解题步骤 6.4.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$r' = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{h p r}$

解题步骤 6.4.3.2

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $\frac{1}{h p r}$ 。

$r' = \frac{3}{2 h p r}$

解题步骤 7

使用 $\frac{d r}{d v}$ 替换 $r'$ 。

$\frac{d r}{d v} = \frac{3}{2 h p r}$

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