微积分学示例

$w = \log_{8} (2^{p} - 1)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d p} (w) = \frac{d}{d p} (\log_{8} (2^{p} - 1))$

解题步骤 2

$w$ 对 $p$ 的导数为 $w'$ 。

$w'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ 等于 $f' (g (p)) g' (p)$ ，其中 $f (p) = \log_{8} (p)$ 且 $g (p) = 2^{p} - 1$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2^{p} - 1$ 。

$\frac{d}{d u} [\log_{8} (u)] \frac{d}{d p} [2^{p} - 1]$

解题步骤 3.1.2

$\log_{8} (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u \ln (8)}$ 。

$\frac{1}{u \ln (8)} \frac{d}{d p} [2^{p} - 1]$

解题步骤 3.1.3

使用 $2^{p} - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)} \frac{d}{d p} [2^{p} - 1]$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $2^{p} - 1$ 对 $p$ 的导数是 $\frac{d}{d p} [2^{p}] + \frac{d}{d p} [- 1]$ 。

$\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)} (\frac{d}{d p} [2^{p}] + \frac{d}{d p} [- 1])$

解题步骤 3.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d p} [a^{p}]$ 等于 $a^{p} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $2$ 。

$\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)} (2^{p} \ln (2) + \frac{d}{d p} [- 1])$

解题步骤 3.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $p$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $p$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)} (2^{p} \ln (2) + 0)$

解题步骤 3.4.2

合并分数。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $2^{p} \ln (2)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)} (2^{p} \ln (2))$

解题步骤 3.4.2.2

组合 $2^{p}$ 和 $\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)}$ 。

$\frac{2^{p}}{(2^{p} - 1) \ln (8)} \ln (2)$

解题步骤 3.4.2.3

组合 $\frac{2^{p}}{(2^{p} - 1) \ln (8)}$ 和 $\ln (2)$ 。

$\frac{2^{p} \ln (2)}{(2^{p} - 1) \ln (8)}$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

运用分配律。

$\frac{2^{p} \ln (2)}{2^{p} \ln (8) - 1 \ln (8)}$

解题步骤 3.5.2

将 $- 1 \ln (8)$ 重写为 $- \ln (8)$ 。

$\frac{2^{p} \ln (2)}{2^{p} \ln (8) - \ln (8)}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$w' = \frac{2^{p} \ln (2)}{2^{p} \ln (8) - \ln (8)}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d w}{d p}$ 替换 $w'$ 。

$\frac{d w}{d p} = \frac{2^{p} \ln (2)}{2^{p} \ln (8) - \ln (8)}$

微积分学 示例

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