微积分学示例

$w = {(t^{7} + 1)}^{90}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d t} (w) = \frac{d}{d t} ({(t^{7} + 1)}^{90})$

解题步骤 2

$w$ 对 $t$ 的导数为 $w'$ 。

$w'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{90}$ 且 $g (t) = t^{7} + 1$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $t^{7} + 1$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{90}] \frac{d}{d t} [t^{7} + 1]$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 90$ 。

$90 u^{89} \frac{d}{d t} [t^{7} + 1]$

解题步骤 3.1.3

使用 $t^{7} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$90 {(t^{7} + 1)}^{89} \frac{d}{d t} [t^{7} + 1]$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $t^{7} + 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t^{7}] + \frac{d}{d t} [1]$ 。

$90 {(t^{7} + 1)}^{89} (\frac{d}{d t} [t^{7}] + \frac{d}{d t} [1])$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 7$ 。

$90 {(t^{7} + 1)}^{89} (7 t^{6} + \frac{d}{d t} [1])$

解题步骤 3.2.3

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$90 {(t^{7} + 1)}^{89} (7 t^{6} + 0)$

解题步骤 3.2.4

化简表达式。

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解题步骤 3.2.4.1

将 $7 t^{6}$ 和 $0$ 相加。

$90 {(t^{7} + 1)}^{89} (7 t^{6})$

解题步骤 3.2.4.2

将 $7$ 乘以 $90$ 。

$630 {(t^{7} + 1)}^{89} t^{6}$

解题步骤 3.2.4.3

重新排序 $630 {(t^{7} + 1)}^{89} t^{6}$ 的因式。

$630 t^{6} {(t^{7} + 1)}^{89}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$w' = 630 t^{6} {(t^{7} + 1)}^{89}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d w}{d t}$ 替换 $w'$ 。

$\frac{d w}{d t} = 630 t^{6} {(t^{7} + 1)}^{89}$

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