微积分学示例

$V = x (36 - x) (24 - 2 x)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (V) = \frac{d}{d x} (x (36 - x) (24 - 2 x))$

解题步骤 2

$V$ 对 $x$ 的导数为 $V'$ 。

$V'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x (36 - x)$ 且 $g (x) = 24 - 2 x$ 。

$x (36 - x) \frac{d}{d x} [24 - 2 x] + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $24 - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$x (36 - x) (\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

解题步骤 3.2.2

因为 $24$ 对于 $x$ 是常数，所以 $24$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x (36 - x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

解题步骤 3.2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 相加。

$x (36 - x) \frac{d}{d x} [- 2 x] + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

解题步骤 3.2.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x (36 - x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

解题步骤 3.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (36 - x) (- 2 \cdot 1) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

解题步骤 3.2.6

化简表达式。

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解题步骤 3.2.6.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$x (36 - x) \cdot - 2 + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

解题步骤 3.2.6.2

将 $- 2$ 移到 $x (36 - x)$ 的左侧。

$- 2 \cdot (x (36 - x)) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

解题步骤 3.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = 36 - x$ 。

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [36 - x] + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4

求微分。

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解题步骤 3.4.1

根据加法法则， $36 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (x (\frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- x]) + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4.2

因为 $36$ 对于 $x$ 是常数，所以 $36$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (x (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [- x] + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (x (- \frac{d}{d x} [x]) + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (x (- 1 \cdot 1) + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4.6

化简表达式。

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解题步骤 3.4.6.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (x \cdot - 1 + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4.6.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (- 1 \cdot x + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4.6.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (- x + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (- x + (36 - x) \cdot 1)$

解题步骤 3.4.8

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 3.4.8.1

将 $36 - x$ 乘以 $1$ 。

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (- x + 36 - x)$

解题步骤 3.4.8.2

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (- 2 x + 36)$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

运用分配律。

$- 2 x \cdot 36 - 2 x (- x) + (24 - 2 x) (- 2 x + 36)$

解题步骤 3.5.2

运用分配律。

$- 2 x \cdot 36 - 2 x (- x) + (24 - 2 x) (- 2 x) + (24 - 2 x) \cdot 36$

解题步骤 3.5.3

运用分配律。

$- 2 x \cdot 36 - 2 x (- x) + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + (24 - 2 x) \cdot 36$

解题步骤 3.5.4

运用分配律。

$- 2 x \cdot 36 - 2 x (- x) + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

解题步骤 3.5.5

合并项。

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解题步骤 3.5.5.1

将 $36$ 乘以 $- 2$ 。

$- 72 x - 2 x (- x) + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

解题步骤 3.5.5.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$- 72 x + 2 x \cdot x + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

解题步骤 3.5.5.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 72 x + 2 (x^{1} x) + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

解题步骤 3.5.5.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 72 x + 2 (x^{1} x^{1}) + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

解题步骤 3.5.5.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 72 x + 2 x^{1 + 1} + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

解题步骤 3.5.5.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 72 x + 2 x^{2} + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

解题步骤 3.5.5.7

将 $- 2$ 乘以 $24$ 。

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

解题步骤 3.5.5.8

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x + 4 x \cdot x + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

解题步骤 3.5.5.9

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x + 4 (x^{1} x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

解题步骤 3.5.5.10

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x + 4 (x^{1} x^{1}) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

解题步骤 3.5.5.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x + 4 x^{1 + 1} + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

解题步骤 3.5.5.12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x + 4 x^{2} + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

解题步骤 3.5.5.13

将 $24$ 乘以 $36$ 。

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x + 4 x^{2} + 864 - 2 x \cdot 36$

解题步骤 3.5.5.14

将 $36$ 乘以 $- 2$ 。

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x + 4 x^{2} + 864 - 72 x$

解题步骤 3.5.5.15

从 $- 48 x$ 中减去 $72 x$ 。

$- 72 x + 2 x^{2} - 120 x + 4 x^{2} + 864$

解题步骤 3.5.5.16

从 $- 72 x$ 中减去 $120 x$ 。

$2 x^{2} - 192 x + 4 x^{2} + 864$

解题步骤 3.5.5.17

将 $2 x^{2}$ 和 $4 x^{2}$ 相加。

$6 x^{2} - 192 x + 864$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$V' = 6 x^{2} - 192 x + 864$

解题步骤 5

使用 $\frac{d V}{d x}$ 替换 $V'$ 。

$\frac{d V}{d x} = 6 x^{2} - 192 x + 864$

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