微积分学示例

$v = \frac{1 + x - 4 \sqrt{x}}{x}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$v' = \frac{1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}}{x}$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} v' = \frac{d}{d x} (\frac{1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}}{x})$

解题步骤 3

$v'$ 对 $x$ 的导数为 $v''$ 。

$v''$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x$ 。

$\frac{x \frac{d}{d x} [1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}] - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.2

求微分。

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解题步骤 4.2.1

根据加法法则， $1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$\frac{x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x (0 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x]$ 相加。

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x (1 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.2.5

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$\frac{x (1 - 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{x (1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x (1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x (1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.5

在公分母上合并分子。

$\frac{x (1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.6

化简分子。

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解题步骤 4.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x (1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{x (1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{x (1 - 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{x (1 - 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.9

组合 $- 4$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{x (1 + \frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{x (1 + \frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.11

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{x (1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.12

约去公因数。

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解题步骤 4.12.1

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{x (1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.12.2

约去公因数。

$\frac{x (1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.12.3

重写表达式。

$\frac{x (1 + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.13

将负号移到分数的前面。

$\frac{x (1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.14

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x (1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 4.15

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x (1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

解题步骤 4.16

化简。

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解题步骤 4.16.1

运用分配律。

$\frac{x \cdot 1 + x (- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

解题步骤 4.16.2

运用分配律。

$\frac{x \cdot 1 + x (- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

解题步骤 4.16.3

化简分子。

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解题步骤 4.16.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.16.3.1.1

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x + x (- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

解题步骤 4.16.3.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{x - x \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

解题步骤 4.16.3.1.3

组合 $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{x - \frac{2 x}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

解题步骤 4.16.3.1.4

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$\frac{x - (2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}) - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

解题步骤 4.16.3.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.16.3.1.5.1

移动 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{x - (2 (x^{- \frac{1}{2}} x)) - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

解题步骤 4.16.3.1.5.2

将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.16.3.1.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x - (2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})) - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

解题步骤 4.16.3.1.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x - (2 x^{- \frac{1}{2} + 1}) - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

解题步骤 4.16.3.1.5.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{x - (2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}) - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

解题步骤 4.16.3.1.5.4

在公分母上合并分子。

$\frac{x - (2 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}) - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

解题步骤 4.16.3.1.5.5

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{x - (2 x^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

解题步骤 4.16.3.1.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x - 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

解题步骤 4.16.3.1.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x - 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

解题步骤 4.16.3.1.8

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x - 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 - x + 4 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}$

解题步骤 4.16.3.2

合并 $x - 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 - x + 4 x^{\frac{1}{2}}$ 中相反的项。

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解题步骤 4.16.3.2.1

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 + 0 + 4 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}$

解题步骤 4.16.3.2.2

将 $- 2 x^{\frac{1}{2}} - 1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 + 4 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}$

解题步骤 4.16.3.3

将 $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ 和 $4 x^{\frac{1}{2}}$ 相加。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{x^{2}}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$v'' = \frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{x^{2}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d v}{d x}$ 替换 $v'$ 。

$\frac{d v}{d x} = \frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{x^{2}}$

微积分学 示例

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