微积分学示例

$\sin (27 x t) = t$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (\sin (27 x t)) = \frac{d}{d x} (t)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 27 x t$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $27 x t$ 。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [27 x t]$

解题步骤 2.1.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [27 x t]$

解题步骤 2.1.3

使用 $27 x t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\cos (27 x t) \frac{d}{d x} [27 x t]$

解题步骤 2.2

因为 $27$ 对于 $x$ 是常数，所以 $27 x t$ 对 $x$ 的导数是 $27 \frac{d}{d x} [x t]$ 。

$\cos (27 x t) (27 \frac{d}{d x} [x t])$

解题步骤 2.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = t$ 。

$\cos (27 x t) (27 (x \frac{d}{d x} [t] + t \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 2.4

将 $\frac{d}{d x} [t]$ 重写为 $t'$ 。

$\cos (27 x t) (27 (x t' + t \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\cos (27 x t) (27 (x t' + t \cdot 1))$

解题步骤 2.6

将 $t$ 乘以 $1$ 。

$\cos (27 x t) (27 (x t' + t))$

解题步骤 2.7

化简。

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解题步骤 2.7.1

运用分配律。

$\cos (27 x t) (27 (x t') + 27 t)$

解题步骤 2.7.2

运用分配律。

$\cos (27 x t) (27 (x t')) + \cos (27 x t) (27 t)$

解题步骤 2.7.3

重新排序项。

$27 x \cos (27 x t) t' + 27 t \cos (27 x t)$

解题步骤 3

将 $\frac{d}{d x} [t]$ 重写为 $t'$ 。

$t'$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$27 x \cos (27 x t) t' + 27 t \cos (27 x t) = t'$

解题步骤 5

求解 $t'$ 。

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解题步骤 5.1

化简左边。

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解题步骤 5.1.1

将 $27 x \cos (27 x t) t' + 27 t \cos (27 x t)$ 中的因式重新排序。

$27 x t' \cos (27 x t) + 27 t \cos (27 x t) = t'$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $t'$ 。

$27 x t' \cos (27 x t) + 27 t \cos (27 x t) - t' = 0$

解题步骤 5.3

从等式两边同时减去 $27 t \cos (27 x t)$ 。

$27 x t' \cos (27 x t) - t' = - 27 t \cos (27 x t)$

解题步骤 5.4

从 $27 x t' \cos (27 x t) - t'$ 中分解出因数 $t'$ 。

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解题步骤 5.4.1

从 $27 x t' \cos (27 x t)$ 中分解出因数 $t'$ 。

$t' (27 x \cos (27 x t)) - t' = - 27 t \cos (27 x t)$

解题步骤 5.4.2

从 $- t'$ 中分解出因数 $t'$ 。

$t' (27 x \cos (27 x t)) + t' \cdot - 1 = - 27 t \cos (27 x t)$

解题步骤 5.4.3

从 $t' (27 x \cos (27 x t)) + t' \cdot - 1$ 中分解出因数 $t'$ 。

$t' (27 x \cos (27 x t) - 1) = - 27 t \cos (27 x t)$

解题步骤 5.5

将 $t' (27 x \cos (27 x t) - 1) = - 27 t \cos (27 x t)$ 中的每一项除以 $27 x \cos (27 x t) - 1$ 并化简。

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解题步骤 5.5.1

将 $t' (27 x \cos (27 x t) - 1) = - 27 t \cos (27 x t)$ 中的每一项都除以 $27 x \cos (27 x t) - 1$ 。

$\frac{t' (27 x \cos (27 x t) - 1)}{27 x \cos (27 x t) - 1} = \frac{- 27 t \cos (27 x t)}{27 x \cos (27 x t) - 1}$

解题步骤 5.5.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.2.1

约去 $27 x \cos (27 x t) - 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{t' (27 x \cos (27 x t) - 1)}{27 x \cos (27 x t) - 1} = \frac{- 27 t \cos (27 x t)}{27 x \cos (27 x t) - 1}$

解题步骤 5.5.2.1.2

用 $t'$ 除以 $1$ 。

$t' = \frac{- 27 t \cos (27 x t)}{27 x \cos (27 x t) - 1}$

解题步骤 5.5.3

化简右边。

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解题步骤 5.5.3.1

将负号移到分数的前面。

$t' = - \frac{27 t \cos (27 x t)}{27 x \cos (27 x t) - 1}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d t}{d x}$ 替换 $t'$ 。

$\frac{d t}{d x} = - \frac{27 t \cos (27 x t)}{27 x \cos (27 x t) - 1}$

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