微积分学示例

$f = (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (4 r^{4} - 7)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d r} (f) = \frac{d}{d r} ((- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (4 r^{4} - 7))$

解题步骤 2

$f$ 对 $r$ 的导数为 $f'$ 。

$f'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ 等于 $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ ，其中 $f (r) = - 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}$ 且 $g (r) = 4 r^{4} - 7$ 。

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) \frac{d}{d r} [4 r^{4} - 7] + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $4 r^{4} - 7$ 对 $r$ 的导数是 $\frac{d}{d r} [4 r^{4}] + \frac{d}{d r} [- 7]$ 。

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (\frac{d}{d r} [4 r^{4}] + \frac{d}{d r} [- 7]) + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

解题步骤 3.2.2

因为 $4$ 对于 $r$ 是常数，所以 $4 r^{4}$ 对 $r$ 的导数是 $4 \frac{d}{d r} [r^{4}]$ 。

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (4 \frac{d}{d r} [r^{4}] + \frac{d}{d r} [- 7]) + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

解题步骤 3.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (4 (4 r^{3}) + \frac{d}{d r} [- 7]) + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

解题步骤 3.2.4

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (16 r^{3} + \frac{d}{d r} [- 7]) + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

解题步骤 3.2.5

因为 $- 7$ 对于 $r$ 是常数，所以 $- 7$ 对 $r$ 的导数为 $0$ 。

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (16 r^{3} + 0) + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

解题步骤 3.2.6

化简表达式。

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解题步骤 3.2.6.1

将 $16 r^{3}$ 和 $0$ 相加。

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (16 r^{3}) + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

解题步骤 3.2.6.2

将 $16$ 移到 $- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}$ 的左侧。

$16 \cdot (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

解题步骤 3.2.7

根据加法法则， $- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}$ 对 $r$ 的导数是 $\frac{d}{d r} [- 6 r^{9}] + \frac{d}{d r} [- 1] + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}]$ 。

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (\frac{d}{d r} [- 6 r^{9}] + \frac{d}{d r} [- 1] + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}])$

解题步骤 3.2.8

因为 $- 6$ 对于 $r$ 是常数，所以 $- 6 r^{9}$ 对 $r$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d r} [r^{9}]$ 。

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 6 \frac{d}{d r} [r^{9}] + \frac{d}{d r} [- 1] + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}])$

解题步骤 3.2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = 9$ 。

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 6 (9 r^{8}) + \frac{d}{d r} [- 1] + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}])$

解题步骤 3.2.10

将 $9$ 乘以 $- 6$ 。

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + \frac{d}{d r} [- 1] + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}])$

解题步骤 3.2.11

因为 $- 1$ 对于 $r$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $r$ 的导数为 $0$ 。

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 0 + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}])$

解题步骤 3.2.12

将 $- 54 r^{8}$ 和 $0$ 相加。

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}])$

解题步骤 3.2.13

因为 $- 9$ 对于 $r$ 是常数，所以 $- \frac{9}{r^{2}}$ 对 $r$ 的导数是 $- 9 \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{2}}]$ 。

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} - 9 \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{2}}])$

解题步骤 3.2.14

应用指数的基本规则。

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解题步骤 3.2.14.1

将 $\frac{1}{r^{2}}$ 重写为 ${(r^{2})}^{- 1}$ 。

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} - 9 \frac{d}{d r} [{(r^{2})}^{- 1}])$

解题步骤 3.2.14.2

将 ${(r^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.14.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} - 9 \frac{d}{d r} [r^{2 \cdot - 1}])$

解题步骤 3.2.14.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} - 9 \frac{d}{d r} [r^{- 2}])$

解题步骤 3.2.15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} - 9 (- 2 r^{- 3}))$

解题步骤 3.2.16

将 $- 2$ 乘以 $- 9$ 。

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 r^{- 3})$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

解题步骤 3.3.2

运用分配律。

$(16 (- 6 r^{9}) + 16 \cdot - 1 + 16 (- \frac{9}{r^{2}})) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

解题步骤 3.3.3

运用分配律。

$16 (- 6 r^{9}) r^{3} + 16 \cdot - 1 r^{3} + 16 (- \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

解题步骤 3.3.4

合并项。

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解题步骤 3.3.4.1

将 $- 6$ 乘以 $16$ 。

$- 96 r^{9} r^{3} + 16 \cdot - 1 r^{3} + 16 (- \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

解题步骤 3.3.4.2

通过指数相加将 $r^{9}$ 乘以 $r^{3}$ 。

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解题步骤 3.3.4.2.1

移动 $r^{3}$ 。

$- 96 (r^{3} r^{9}) + 16 \cdot - 1 r^{3} + 16 (- \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

解题步骤 3.3.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 96 r^{3 + 9} + 16 \cdot - 1 r^{3} + 16 (- \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

解题步骤 3.3.4.2.3

将 $3$ 和 $9$ 相加。

$- 96 r^{12} + 16 \cdot - 1 r^{3} + 16 (- \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

解题步骤 3.3.4.3

将 $16$ 乘以 $- 1$ 。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} + 16 (- \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

解题步骤 3.3.4.4

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 16 \frac{9}{r^{2}} r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

解题步骤 3.3.4.5

组合 $- 16$ 和 $\frac{9}{r^{2}}$ 。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} + \frac{- 16 \cdot 9}{r^{2}} r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

解题步骤 3.3.4.6

将 $- 16$ 乘以 $9$ 。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} + \frac{- 144}{r^{2}} r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

解题步骤 3.3.4.7

将负号移到分数的前面。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{144}{r^{2}} r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

解题步骤 3.3.4.8

组合 $r^{3}$ 和 $\frac{144}{r^{2}}$ 。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{r^{3} \cdot 144}{r^{2}} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

解题步骤 3.3.4.9

将 $144$ 移到 $r^{3}$ 的左侧。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{144 \cdot r^{3}}{r^{2}} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

解题步骤 3.3.4.10

约去 $r^{3}$ 和 $r^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.4.10.1

从 $144 r^{3}$ 中分解出因数 $r^{2}$ 。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{r^{2} (144 r)}{r^{2}} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

解题步骤 3.3.4.10.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.4.10.2.1

乘以 $1$ 。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{r^{2} (144 r)}{r^{2} \cdot 1} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

解题步骤 3.3.4.10.2.2

约去公因数。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{r^{2} (144 r)}{r^{2} \cdot 1} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

解题步骤 3.3.4.10.2.3

重写表达式。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{144 r}{1} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

解题步骤 3.3.4.10.2.4

用 $144 r$ 除以 $1$ 。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - (144 r) + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

解题步骤 3.3.4.11

将 $144$ 乘以 $- 1$ 。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 144 r + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

解题步骤 3.3.4.12

组合 $18$ 和 $\frac{1}{r^{3}}$ 。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 144 r + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + \frac{18}{r^{3}})$

解题步骤 3.3.5

重新排序项。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} + (- 54 r^{8} + \frac{18}{r^{3}}) (4 r^{4} - 7) - 144 r$

解题步骤 3.3.6

化简每一项。

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解题步骤 3.3.6.1

使用 FOIL 方法展开 $(- 54 r^{8} + \frac{18}{r^{3}}) (4 r^{4} - 7)$ 。

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解题步骤 3.3.6.1.1

运用分配律。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 r^{8} (4 r^{4} - 7) + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4} - 7) - 144 r$

解题步骤 3.3.6.1.2

运用分配律。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 r^{8} (4 r^{4}) - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4} - 7) - 144 r$

解题步骤 3.3.6.1.3

运用分配律。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 r^{8} (4 r^{4}) - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

解题步骤 3.3.6.2

化简每一项。

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解题步骤 3.3.6.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 \cdot 4 r^{8} r^{4} - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

解题步骤 3.3.6.2.2

通过指数相加将 $r^{8}$ 乘以 $r^{4}$ 。

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解题步骤 3.3.6.2.2.1

移动 $r^{4}$ 。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 \cdot 4 (r^{4} r^{8}) - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

解题步骤 3.3.6.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 \cdot 4 r^{4 + 8} - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

解题步骤 3.3.6.2.2.3

将 $4$ 和 $8$ 相加。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 \cdot 4 r^{12} - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

解题步骤 3.3.6.2.3

将 $- 54$ 乘以 $4$ 。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

解题步骤 3.3.6.2.4

将 $- 7$ 乘以 $- 54$ 。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

解题步骤 3.3.6.2.5

使用乘法的交换性质重写。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + 4 \frac{18}{r^{3}} r^{4} + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

解题步骤 3.3.6.2.6

乘以 $4 \frac{18}{r^{3}}$ 。

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解题步骤 3.3.6.2.6.1

组合 $4$ 和 $\frac{18}{r^{3}}$ 。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + \frac{4 \cdot 18}{r^{3}} r^{4} + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

解题步骤 3.3.6.2.6.2

将 $4$ 乘以 $18$ 。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + \frac{72}{r^{3}} r^{4} + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

解题步骤 3.3.6.2.7

约去 $r^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.6.2.7.1

从 $r^{4}$ 中分解出因数 $r^{3}$ 。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + \frac{72}{r^{3}} (r^{3} r) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

解题步骤 3.3.6.2.7.2

约去公因数。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + \frac{72}{r^{3}} (r^{3} r) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

解题步骤 3.3.6.2.7.3

重写表达式。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + 72 r + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

解题步骤 3.3.6.2.8

乘以 $\frac{18}{r^{3}} \cdot - 7$ 。

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解题步骤 3.3.6.2.8.1

组合 $\frac{18}{r^{3}}$ 和 $- 7$ 。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + 72 r + \frac{18 \cdot - 7}{r^{3}} - 144 r$

解题步骤 3.3.6.2.8.2

将 $18$ 乘以 $- 7$ 。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + 72 r + \frac{- 126}{r^{3}} - 144 r$

解题步骤 3.3.6.2.9

将负号移到分数的前面。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + 72 r - \frac{126}{r^{3}} - 144 r$

解题步骤 3.3.7

从 $- 96 r^{12}$ 中减去 $216 r^{12}$ 。

$- 312 r^{12} - 16 r^{3} + 378 r^{8} + 72 r - \frac{126}{r^{3}} - 144 r$

解题步骤 3.3.8

从 $72 r$ 中减去 $144 r$ 。

$- 312 r^{12} - 16 r^{3} + 378 r^{8} - 72 r - \frac{126}{r^{3}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$f' = - 312 r^{12} - 16 r^{3} + 378 r^{8} - 72 r - \frac{126}{r^{3}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d f}{d r}$ 替换 $f'$ 。

$\frac{d f}{d r} = - 312 r^{12} - 16 r^{3} + 378 r^{8} - 72 r - \frac{126}{r^{3}}$

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