微积分学示例

$s = \sin (\frac{9 π t}{2}) - \cos (\frac{9 π t}{2})$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (\sin (\frac{9 π t}{2}) - \cos (\frac{9 π t}{2}))$

解题步骤 2

$s$ 对 $t$ 的导数为 $s'$ 。

$s'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $\sin (\frac{9 π t}{2}) - \cos (\frac{9 π t}{2})$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [\sin (\frac{9 π t}{2})] + \frac{d}{d t} [- \cos (\frac{9 π t}{2})]$ 。

$\frac{d}{d t} [\sin (\frac{9 π t}{2})] + \frac{d}{d t} [- \cos (\frac{9 π t}{2})]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d t} [\sin (\frac{9 π t}{2})]$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \sin (t)$ 且 $g (t) = \frac{9 π t}{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\frac{9 π t}{2}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d t} [\frac{9 π t}{2}] + \frac{d}{d t} [- \cos (\frac{9 π t}{2})]$

解题步骤 3.2.1.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d t} [\frac{9 π t}{2}] + \frac{d}{d t} [- \cos (\frac{9 π t}{2})]$

解题步骤 3.2.1.3

使用 $\frac{9 π t}{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\cos (\frac{9 π t}{2}) \frac{d}{d t} [\frac{9 π t}{2}] + \frac{d}{d t} [- \cos (\frac{9 π t}{2})]$

解题步骤 3.2.2

因为 $\frac{9 π}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{9 π t}{2}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{9 π}{2} \frac{d}{d t} [t]$ 。

$\cos (\frac{9 π t}{2}) (\frac{9 π}{2} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- \cos (\frac{9 π t}{2})]$

解题步骤 3.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\cos (\frac{9 π t}{2}) (\frac{9 π}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- \cos (\frac{9 π t}{2})]$

解题步骤 3.2.4

将 $\frac{9 π}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\cos (\frac{9 π t}{2}) \frac{9 π}{2} + \frac{d}{d t} [- \cos (\frac{9 π t}{2})]$

解题步骤 3.2.5

组合 $\cos (\frac{9 π t}{2})$ 和 $\frac{9 π}{2}$ 。

$\frac{\cos (\frac{9 π t}{2}) (9 π)}{2} + \frac{d}{d t} [- \cos (\frac{9 π t}{2})]$

解题步骤 3.2.6

将 $9$ 移到 $\cos (\frac{9 π t}{2})$ 的左侧。

$\frac{9 \cos (\frac{9 π t}{2}) π}{2} + \frac{d}{d t} [- \cos (\frac{9 π t}{2})]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d t} [- \cos (\frac{9 π t}{2})]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- \cos (\frac{9 π t}{2})$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [\cos (\frac{9 π t}{2})]$ 。

$\frac{9 \cos (\frac{9 π t}{2}) π}{2} - \frac{d}{d t} [\cos (\frac{9 π t}{2})]$

解题步骤 3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \cos (t)$ 且 $g (t) = \frac{9 π t}{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\frac{9 π t}{2}$ 。

$\frac{9 \cos (\frac{9 π t}{2}) π}{2} - (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d t} [\frac{9 π t}{2}])$

解题步骤 3.3.2.2

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$\frac{9 \cos (\frac{9 π t}{2}) π}{2} - (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d t} [\frac{9 π t}{2}])$

解题步骤 3.3.2.3

使用 $\frac{9 π t}{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{9 \cos (\frac{9 π t}{2}) π}{2} - (- \sin (\frac{9 π t}{2}) \frac{d}{d t} [\frac{9 π t}{2}])$

解题步骤 3.3.3

因为 $\frac{9 π}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{9 π t}{2}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{9 π}{2} \frac{d}{d t} [t]$ 。

$\frac{9 \cos (\frac{9 π t}{2}) π}{2} - (- \sin (\frac{9 π t}{2}) (\frac{9 π}{2} \frac{d}{d t} [t]))$

解题步骤 3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{9 \cos (\frac{9 π t}{2}) π}{2} - (- \sin (\frac{9 π t}{2}) (\frac{9 π}{2} \cdot 1))$

解题步骤 3.3.5

将 $\frac{9 π}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{9 \cos (\frac{9 π t}{2}) π}{2} - (- \sin (\frac{9 π t}{2}) \frac{9 π}{2})$

解题步骤 3.3.6

组合 $\frac{9 π}{2}$ 和 $\sin (\frac{9 π t}{2})$ 。

$\frac{9 \cos (\frac{9 π t}{2}) π}{2} - - \frac{9 π \sin (\frac{9 π t}{2})}{2}$

解题步骤 3.3.7

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{9 \cos (\frac{9 π t}{2}) π}{2} + 1 \frac{9 π \sin (\frac{9 π t}{2})}{2}$

解题步骤 3.3.8

将 $\frac{9 π \sin (\frac{9 π t}{2})}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{9 \cos (\frac{9 π t}{2}) π}{2} + \frac{9 π \sin (\frac{9 π t}{2})}{2}$

解题步骤 3.4

将 $\frac{9 \cos (\frac{9 π t}{2}) π}{2} + \frac{9 π \sin (\frac{9 π t}{2})}{2}$ 中的因式重新排序。

$\frac{9 π \cos (\frac{9 π t}{2})}{2} + \frac{9 π \sin (\frac{9 π t}{2})}{2}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$s' = \frac{9 π \cos (\frac{9 π t}{2})}{2} + \frac{9 π \sin (\frac{9 π t}{2})}{2}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d s}{d t}$ 替换 $s'$ 。

$\frac{d s}{d t} = \frac{9 π \cos (\frac{9 π t}{2})}{2} + \frac{9 π \sin (\frac{9 π t}{2})}{2}$

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