微积分学示例

$s = \frac{1}{3} t^{3} - 5 t^{2} + 16 t + 8$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d s} (s) = \frac{d}{d s} (\frac{1}{3} t^{3} - 5 t^{2} + 16 t + 8)$

解题步骤 2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ 等于 $n s^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $\frac{1}{3} t^{3} - 5 t^{2} + 16 t + 8$ 对 $s$ 的导数是 $\frac{d}{d s} [\frac{1}{3} t^{3}] + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$ 。

$\frac{d}{d s} [\frac{1}{3} t^{3}] + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d s} [\frac{1}{3} t^{3}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $s$ 是常数，所以 $\frac{1}{3} t^{3}$ 对 $s$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d s} [t^{3}]$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d s} [t^{3}] + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

解题步骤 3.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ 等于 $f' (g (s)) g' (s)$ ，其中 $f (s) = s^{3}$ 且 $g (s) = t$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $t$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

解题步骤 3.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{1}{3} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

解题步骤 3.2.2.3

使用 $t$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{3} (3 t^{2} \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

解题步骤 3.2.3

将 $\frac{d}{d s} [t]$ 重写为 $t'$ 。

$\frac{1}{3} (3 t^{2} t') + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

解题步骤 3.2.4

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{3}{3} (t^{2} t') + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

解题步骤 3.2.5

组合 $t^{2}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{t^{2} \cdot 3}{3} t' + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

解题步骤 3.2.6

组合 $\frac{t^{2} \cdot 3}{3}$ 和 $t'$ 。

$\frac{t^{2} \cdot 3 t'}{3} + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

解题步骤 3.2.7

将 $3$ 移到 $t^{2}$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot t^{2} t'}{3} + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

解题步骤 3.2.8

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.8.1

约去公因数。

$\frac{3 t^{2} t'}{3} + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

解题步骤 3.2.8.2

用 $t^{2} t'$ 除以 $1$ 。

$t^{2} t' + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d s} [- 5 t^{2}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- 5$ 对于 $s$ 是常数，所以 $- 5 t^{2}$ 对 $s$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d s} [t^{2}]$ 。

$t^{2} t' - 5 \frac{d}{d s} [t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

解题步骤 3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ 等于 $f' (g (s)) g' (s)$ ，其中 $f (s) = s^{2}$ 且 $g (s) = t$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $t$ 。

$t^{2} t' - 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

解题步骤 3.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$t^{2} t' - 5 (2 u_{2} \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

解题步骤 3.3.2.3

使用 $t$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$t^{2} t' - 5 (2 t \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

解题步骤 3.3.3

将 $\frac{d}{d s} [t]$ 重写为 $t'$ 。

$t^{2} t' - 5 (2 t t') + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

解题步骤 3.3.4

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$t^{2} t' - 10 t t' + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

解题步骤 3.4

计算 $\frac{d}{d s} [16 t]$ 。

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解题步骤 3.4.1

因为 $16$ 对于 $s$ 是常数，所以 $16 t$ 对 $s$ 的导数是 $16 \frac{d}{d s} [t]$ 。

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 \frac{d}{d s} [t] + \frac{d}{d s} [8]$

解题步骤 3.4.2

将 $\frac{d}{d s} [t]$ 重写为 $t'$ 。

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 t' + \frac{d}{d s} [8]$

解题步骤 3.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.5.1

因为 $8$ 对于 $s$ 是常数，所以 $8$ 对 $s$ 的导数为 $0$ 。

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 t' + 0$

解题步骤 3.5.2

将 $t^{2} t' - 10 t t' + 16 t'$ 和 $0$ 相加。

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 t'$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$1 = t^{2} t' - 10 t t' + 16 t'$

解题步骤 5

求解 $t'$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $t^{2} t' - 10 t t' + 16 t' = 1$ 。

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 t' = 1$

解题步骤 5.2

从 $t^{2} t' - 10 t t' + 16 t'$ 中分解出因数 $t'$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $t^{2} t'$ 中分解出因数 $t'$ 。

$t' t^{2} - 10 t t' + 16 t' = 1$

解题步骤 5.2.2

从 $- 10 t t'$ 中分解出因数 $t'$ 。

$t' (t^{2}) + t' (- 10 t) + 16 t' = 1$

解题步骤 5.2.3

从 $16 t'$ 中分解出因数 $t'$ 。

$t' (t^{2}) + t' (- 10 t) + t' \cdot 16 = 1$

解题步骤 5.2.4

从 $t' (t^{2}) + t' (- 10 t)$ 中分解出因数 $t'$ 。

$t' (t^{2} - 10 t) + t' \cdot 16 = 1$

解题步骤 5.2.5

从 $t' (t^{2} - 10 t) + t' \cdot 16$ 中分解出因数 $t'$ 。

$t' (t^{2} - 10 t + 16) = 1$

解题步骤 5.3

因数。

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解题步骤 5.3.1

使用 AC 法来对 $t^{2} - 10 t + 16$ 进行因式分解。

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解题步骤 5.3.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $16$ ，和为 $- 10$ 。

$- 8, - 2$

解题步骤 5.3.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$t' ((t - 8) (t - 2)) = 1$

解题步骤 5.3.2

去掉多余的括号。

$t' (t - 8) (t - 2) = 1$

解题步骤 5.4

将 $t' (t - 8) (t - 2) = 1$ 中的每一项除以 $(t - 8) (t - 2)$ 并化简。

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解题步骤 5.4.1

将 $t' (t - 8) (t - 2) = 1$ 中的每一项都除以 $(t - 8) (t - 2)$ 。

$\frac{t' (t - 8) (t - 2)}{(t - 8) (t - 2)} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

解题步骤 5.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.1

约去 $t - 8$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{t' (t - 8) (t - 2)}{(t - 8) (t - 2)} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

解题步骤 5.4.2.1.2

重写表达式。

$\frac{t' (t - 2)}{t - 2} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

解题步骤 5.4.2.2

约去 $t - 2$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{t' (t - 2)}{t - 2} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

解题步骤 5.4.2.2.2

用 $t'$ 除以 $1$ 。

$t' = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d t}{d s}$ 替换 $t'$ 。

$\frac{d t}{d s} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

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