微积分学示例

$q = \cos (\frac{t}{\sqrt{t + 4}})$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t + 4}$ 重写成 ${(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$q = \cos (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d q} (q) = \frac{d}{d q} (\cos (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}))$

解题步骤 3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ 等于 $n q^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d q} [f (g (q))]$ 等于 $f' (g (q)) g' (q)$ ，其中 $f (q) = \cos (q)$ 且 $g (q) = \frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

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解题步骤 4.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d q} [\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 4.1.2

$\cos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \sin (u_{1})$ 。

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d q} [\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 4.1.3

使用 $\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d q} [\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 4.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d q} [\frac{f (q)}{g (q)}]$ 等于 $\frac{g (q) \frac{d}{d q} [f (q)] - f (q) \frac{d}{d q} [g (q)]}{{g (q)}^{2}}$ ，其中 $f (q) = t$ 且 $g (q) = {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d q} [t] - t \frac{d}{d q} [{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(t + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.3

将 ${({(t + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d q} [t] - t \frac{d}{d q} [{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1

约去公因数。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d q} [t] - t \frac{d}{d q} [{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.3.2.2

重写表达式。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d q} [t] - t \frac{d}{d q} [{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t + 4)}^{1}}$

解题步骤 4.4

化简。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d q} [t] - t \frac{d}{d q} [{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}]}{t + 4}$

解题步骤 4.5

将 $\frac{d}{d q} [t]$ 重写为 $t'$ 。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} t' - t \frac{d}{d q} [{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}]}{t + 4}$

解题步骤 4.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d q} [f (g (q))]$ 等于 $f' (g (q)) g' (q)$ ，其中 $f (q) = q^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (q) = t + 4$ 。

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解题步骤 4.6.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $t + 4$ 。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} t' - t (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d q} [t + 4])}{t + 4}$

解题步骤 4.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} t' - t (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d q} [t + 4])}{t + 4}$

解题步骤 4.6.3

使用 $t + 4$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} t' - t (\frac{1}{2} {(t + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d q} [t + 4])}{t + 4}$

解题步骤 4.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} t' - t (\frac{1}{2} {(t + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d q} [t + 4])}{t + 4}$

解题步骤 4.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} t' - t (\frac{1}{2} {(t + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d q} [t + 4])}{t + 4}$

解题步骤 4.9

在公分母上合并分子。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} t' - t (\frac{1}{2} {(t + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d q} [t + 4])}{t + 4}$

解题步骤 4.10

化简分子。

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解题步骤 4.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} t' - t (\frac{1}{2} {(t + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d q} [t + 4])}{t + 4}$

解题步骤 4.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} t' - t (\frac{1}{2} {(t + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d q} [t + 4])}{t + 4}$

解题步骤 4.11

合并分数。

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解题步骤 4.11.1

将负号移到分数的前面。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} t' - t (\frac{1}{2} {(t + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d q} [t + 4])}{t + 4}$

解题步骤 4.11.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(t + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} t' - t (\frac{{(t + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d q} [t + 4])}{t + 4}$

解题步骤 4.11.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(t + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} t' - t (\frac{1}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d q} [t + 4])}{t + 4}$

解题步骤 4.11.4

组合 $\frac{1}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $t$ 。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} t' - \frac{t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d q} [t + 4]}{t + 4}$

解题步骤 4.12

根据加法法则， $t + 4$ 对 $q$ 的导数是 $\frac{d}{d q} [t] + \frac{d}{d q} [4]$ 。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} t' - \frac{t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d q} [t] + \frac{d}{d q} [4])}{t + 4}$

解题步骤 4.13

将 $\frac{d}{d q} [t]$ 重写为 $t'$ 。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} t' - \frac{t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} (t' + \frac{d}{d q} [4])}{t + 4}$

解题步骤 4.14

因为 $4$ 对于 $q$ 是常数，所以 $4$ 对 $q$ 的导数为 $0$ 。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} t' - \frac{t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} (t' + 0)}{t + 4}$

解题步骤 4.15

合并分数。

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解题步骤 4.15.1

将 $t'$ 和 $0$ 相加。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} t' - \frac{t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} t'}{t + 4}$

解题步骤 4.15.2

组合 $t'$ 和 $\frac{t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} t' - \frac{t' t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 4}$

解题步骤 4.15.3

组合 $\frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} t' - \frac{t' t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 4}$ 和 $\sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})$ 。

$- \frac{({(t + 4)}^{\frac{1}{2}} t' - \frac{t' t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{t + 4}$

解题步骤 4.16

化简。

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解题步骤 4.16.1

化简分子。

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解题步骤 4.16.1.1

从 ${(t + 4)}^{\frac{1}{2}} t' - \frac{t' t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 中分解出因数 $t'$ 。

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解题步骤 4.16.1.1.1

从 ${(t + 4)}^{\frac{1}{2}} t'$ 中分解出因数 $t'$ 。

$- \frac{(t' {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t' t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{t + 4}$

解题步骤 4.16.1.1.2

从 $- \frac{t' t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 中分解出因数 $t'$ 。

$- \frac{(t' {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + t' (- \frac{t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})) \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{t + 4}$

解题步骤 4.16.1.1.3

从 $t' {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + t' (- \frac{t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})$ 中分解出因数 $t'$ 。

$- \frac{t' ({(t + 4)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{t + 4}$

解题步骤 4.16.1.2

要将 ${(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{t' ({(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{t + 4}$

解题步骤 4.16.1.3

组合 ${(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{t' (\frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{t + 4}$

解题步骤 4.16.1.4

在公分母上合并分子。

$- \frac{t' \frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}) - t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{t + 4}$

解题步骤 4.16.1.5

以因式分解的形式重写 $\frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}) - t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

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解题步骤 4.16.1.5.1

使用乘法的交换性质重写。

$- \frac{t' \frac{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} - t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{t + 4}$

解题步骤 4.16.1.5.2

通过指数相加将 ${(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.16.1.5.2.1

移动 ${(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{t' \frac{2 ({(t + 4)}^{\frac{1}{2}} {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}) - t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{t + 4}$

解题步骤 4.16.1.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{t' \frac{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{t + 4}$

解题步骤 4.16.1.5.2.3

在公分母上合并分子。

$- \frac{t' \frac{2 {(t + 4)}^{\frac{1 + 1}{2}} - t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{t + 4}$

解题步骤 4.16.1.5.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{t' \frac{2 {(t + 4)}^{\frac{2}{2}} - t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{t + 4}$

解题步骤 4.16.1.5.2.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$- \frac{t' \frac{2 {(t + 4)}^{1} - t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{t + 4}$

解题步骤 4.16.1.5.3

化简 $2 {(t + 4)}^{1}$ 。

$- \frac{t' \frac{2 (t + 4) - t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{t + 4}$

解题步骤 4.16.1.5.4

运用分配律。

$- \frac{t' \frac{2 t + 2 \cdot 4 - t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{t + 4}$

解题步骤 4.16.1.5.5

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$- \frac{t' \frac{2 t + 8 - t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{t + 4}$

解题步骤 4.16.1.5.6

从 $2 t$ 中减去 $t$ 。

$- \frac{t' \frac{t + 8}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{t + 4}$

解题步骤 4.16.1.6

合并指数。

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解题步骤 4.16.1.6.1

组合 $t'$ 和 $\frac{t + 8}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{\frac{t' (t + 8)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{t + 4}$

解题步骤 4.16.1.6.2

组合 $\frac{t' (t + 8)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $\sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})$ 。

$- \frac{\frac{t' (t + 8) \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 4}$

解题步骤 4.16.2

合并项。

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解题步骤 4.16.2.1

将 $\frac{\frac{t' (t + 8) \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 4}$ 重写为乘积形式。

$- (\frac{t' (t + 8) \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{t + 4})$

解题步骤 4.16.2.2

将 $\frac{t' (t + 8) \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{t + 4}$ 。

$- \frac{t' (t + 8) \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (t + 4)}$

解题步骤 4.16.2.3

对 $t + 4$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{t' (t + 8) \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{2 ({(t + 4)}^{1} {(t + 4)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 4.16.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{t' (t + 8) \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 4)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.16.2.5

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{t' (t + 8) \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 4)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.16.2.6

在公分母上合并分子。

$- \frac{t' (t + 8) \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 4)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

解题步骤 4.16.2.7

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{t' (t + 8) \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.16.3

将 $- \frac{t' (t + 8) \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{\sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8) t'}{2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$1 = - \frac{\sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8) t'}{2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 6

求解 $t'$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $- \frac{\sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8) t'}{2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}} = 1$ 。

$- \frac{\sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8) t'}{2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}} = 1$

解题步骤 6.2

将 $- \frac{\sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8) t'}{2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}} = 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 6.2.1

将 $- \frac{\sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8) t'}{2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}} = 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \frac{\sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8) t'}{2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 6.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\frac{\sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8) t'}{2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 6.2.2.2

化简表达式。

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解题步骤 6.2.2.2.1

用 $\frac{\sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8) t'}{2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}}$ 除以 $1$ 。

$\frac{\sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8) t'}{2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 6.2.2.2.2

将 $\frac{\sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8) t'}{2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}}$ 中的因式重新排序。

$\frac{t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8)}{2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 6.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.2.3.1

用 $1$ 除以 $- 1$ 。

$\frac{t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8)}{2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}} = - 1$

解题步骤 6.3

两边同时乘以 $2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8)}{2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}} (2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}) = - (2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.4

化简。

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解题步骤 6.4.1

化简左边。

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解题步骤 6.4.1.1

化简 $\frac{t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8)}{2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}} (2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}})$ 。

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解题步骤 6.4.1.1.1

化简项。

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解题步骤 6.4.1.1.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 \frac{t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8)}{2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}} {(t + 4)}^{\frac{3}{2}} = - (2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.4.1.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.1.1.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8)}{2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}} {(t + 4)}^{\frac{3}{2}} = - (2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.4.1.1.1.2.2

重写表达式。

$\frac{t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8)}{{(t + 4)}^{\frac{3}{2}}} {(t + 4)}^{\frac{3}{2}} = - (2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.4.1.1.1.3

约去 ${(t + 4)}^{\frac{3}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.1.1.1.3.1

约去公因数。

$\frac{t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8)}{{(t + 4)}^{\frac{3}{2}}} {(t + 4)}^{\frac{3}{2}} = - (2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.4.1.1.1.3.2

重写表达式。

$t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8) = - (2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.4.1.1.1.4

运用分配律。

$t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) t + t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 8 = - (2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.4.1.1.1.5

将 $8$ 移到 $t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})$ 的左侧。

$t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) t + 8 \cdot (t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})) = - (2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.4.1.1.2

去掉圆括号。

$t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) t + 8 t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) = - (2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.4.1.1.3

化简表达式。

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解题步骤 6.4.1.1.3.1

将 $t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) t + 8 t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})$ 中的因式重新排序。

$t' t \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) + 8 t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) = - (2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.4.1.1.3.2

将 $t'$ 和 $t$ 重新排序。

$t t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) + 8 t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) = - (2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.4.2

化简右边。

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解题步骤 6.4.2.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$t t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) + 8 t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) = - 2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 6.5

求解 $t'$ 。

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解题步骤 6.5.1

从 $t t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) + 8 t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})$ 中分解出因数 $t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})$ 。

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解题步骤 6.5.1.1

从 $t t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})$ 中分解出因数 $t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})$ 。

$t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) t + 8 t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) = - 2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 6.5.1.2

从 $8 t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})$ 中分解出因数 $t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})$ 。

$t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) t + t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 8 = - 2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 6.5.1.3

从 $t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) t + t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 8$ 中分解出因数 $t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})$ 。

$t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8) = - 2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 6.5.2

将 $t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8) = - 2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}$ 中的每一项除以 $\sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8)$ 并化简。

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解题步骤 6.5.2.1

将 $t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8) = - 2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}$ 中的每一项都除以 $\sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8)$ 。

$\frac{t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8)}{\sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8)} = \frac{- 2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}}{\sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8)}$

解题步骤 6.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.5.2.2.1

约去公因数。

$\frac{t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8)}{\sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8)} = \frac{- 2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}}{\sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8)}$

解题步骤 6.5.2.2.2

重写表达式。

$\frac{t' (t + 8)}{t + 8} = \frac{- 2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}}{\sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8)}$

解题步骤 6.5.2.2.3

约去 $t + 8$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.2.2.3.1

约去公因数。

$\frac{t' (t + 8)}{t + 8} = \frac{- 2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}}{\sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8)}$

解题步骤 6.5.2.2.3.2

用 $t'$ 除以 $1$ 。

$t' = \frac{- 2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}}{\sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8)}$

解题步骤 6.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.5.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$t' = - \frac{2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}}{\sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8)}$

解题步骤 7

使用 $\frac{d t}{d q}$ 替换 $t'$ 。

$\frac{d t}{d q} = - \frac{2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}}{\sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8)}$

微积分学 示例

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