微积分学示例

$\cos (x) + \sqrt{y} = 6$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\cos (x) + y^{\frac{1}{2}} = 6$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d y} (\cos (x) + y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d y} (6)$

解题步骤 3

对方程左边求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $\cos (x) + y^{\frac{1}{2}}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [\cos (x)] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ 。

$\frac{d}{d y} [\cos (x)] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d y} [\cos (x)]$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = \cos (y)$ 且 $g (y) = x$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x$ 。

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2.1.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$- \sin (u) \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2.1.3

使用 $x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \sin (x) \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2.2

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$- \sin (x) x' + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1}$

解题步骤 3.3.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

解题步骤 3.3.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 3.3.4

在公分母上合并分子。

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 3.3.5

化简分子。

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解题步骤 3.3.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}}$

解题步骤 3.3.5.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}}$

解题步骤 3.3.6

将负号移到分数的前面。

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.4.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4

因为 $6$ 对于 $y$ 是常数，所以 $6$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 6

求解 $x'$ 。

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解题步骤 6.1

化简左边。

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解题步骤 6.1.1

将 $- \sin (x) x' + \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ 中的因式重新排序。

$- x' \sin (x) + \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 6.2

从等式两边同时减去 $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- x' \sin (x) = - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.3

将 $- x' \sin (x) = - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ 中的每一项除以 $- \sin (x)$ 并化简。

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解题步骤 6.3.1

将 $- x' \sin (x) = - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ 中的每一项都除以 $- \sin (x)$ 。

$\frac{- x' \sin (x)}{- \sin (x)} = \frac{- \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{- \sin (x)}$

解题步骤 6.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x' \sin (x)}{\sin (x)} = \frac{- \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{- \sin (x)}$

解题步骤 6.3.2.2

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{x' \sin (x)}{\sin (x)} = \frac{- \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{- \sin (x)}$

解题步骤 6.3.2.2.2

用 $x'$ 除以 $1$ 。

$x' = \frac{- \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{- \sin (x)}$

解题步骤 6.3.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$x' = \frac{\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{\sin (x)}$

解题步骤 6.3.3.2

分离分数。

$x' = \frac{\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 6.3.3.3

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$x' = \frac{\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{1} \csc (x)$

解题步骤 6.3.3.4

用 $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ 除以 $1$ 。

$x' = \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \csc (x)$

解题步骤 6.3.3.5

组合 $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ 和 $\csc (x)$ 。

$x' = \frac{\csc (x)}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7

使用 $\frac{d x}{d y}$ 替换 $x'$ 。

$\frac{d x}{d y} = \frac{\csc (x)}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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