微积分学示例

$x^{4} y^{2} - x^{3} y + 2 x y^{3} = 0$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d y} (x^{4} y^{2} - x^{3} y + 2 x y^{3}) = \frac{d}{d y} (0)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{4} y^{2} - x^{3} y + 2 x y^{3}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x^{3} y] + \frac{d}{d y} [2 x y^{3}]$ 。

$\frac{d}{d y} [x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x^{3} y] + \frac{d}{d y} [2 x y^{3}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d y} [x^{4} y^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = x^{4}$ 且 $g (y) = y^{2}$ 。

$x^{4} \frac{d}{d y} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d y} [x^{4}] + \frac{d}{d y} [- x^{3} y] + \frac{d}{d y} [2 x y^{3}]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{4} (2 y) + y^{2} \frac{d}{d y} [x^{4}] + \frac{d}{d y} [- x^{3} y] + \frac{d}{d y} [2 x y^{3}]$

解题步骤 2.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{4}$ 且 $g (y) = x$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x$ 。

$x^{4} (2 y) + y^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- x^{3} y] + \frac{d}{d y} [2 x y^{3}]$

解题步骤 2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$x^{4} (2 y) + y^{2} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- x^{3} y] + \frac{d}{d y} [2 x y^{3}]$

解题步骤 2.2.3.3

使用 $x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$x^{4} (2 y) + y^{2} (4 x^{3} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- x^{3} y] + \frac{d}{d y} [2 x y^{3}]$

解题步骤 2.2.4

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$x^{4} (2 y) + y^{2} (4 x^{3} x') + \frac{d}{d y} [- x^{3} y] + \frac{d}{d y} [2 x y^{3}]$

解题步骤 2.2.5

将 $2$ 移到 $x^{4}$ 的左侧。

$2 \cdot x^{4} y + y^{2} (4 x^{3} x') + \frac{d}{d y} [- x^{3} y] + \frac{d}{d y} [2 x y^{3}]$

解题步骤 2.2.6

将 $4$ 移到 $y^{2}$ 的左侧。

$2 x^{4} y + 4 y^{2} x^{3} x' + \frac{d}{d y} [- x^{3} y] + \frac{d}{d y} [2 x y^{3}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d y} [- x^{3} y]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- x^{3} y$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [x^{3} y]$ 。

$2 x^{4} y + 4 y^{2} x^{3} x' - \frac{d}{d y} [x^{3} y] + \frac{d}{d y} [2 x y^{3}]$

解题步骤 2.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = x^{3}$ 且 $g (y) = y$ 。

$2 x^{4} y + 4 y^{2} x^{3} x' - (x^{3} \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x^{3}]) + \frac{d}{d y} [2 x y^{3}]$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x^{4} y + 4 y^{2} x^{3} x' - (x^{3} \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x^{3}]) + \frac{d}{d y} [2 x y^{3}]$

解题步骤 2.3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{3}$ 且 $g (y) = x$ 。

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解题步骤 2.3.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x$ 。

$2 x^{4} y + 4 y^{2} x^{3} x' - (x^{3} \cdot 1 + y (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d y} [x])) + \frac{d}{d y} [2 x y^{3}]$

解题步骤 2.3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$2 x^{4} y + 4 y^{2} x^{3} x' - (x^{3} \cdot 1 + y (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d y} [x])) + \frac{d}{d y} [2 x y^{3}]$

解题步骤 2.3.4.3

使用 $x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$2 x^{4} y + 4 y^{2} x^{3} x' - (x^{3} \cdot 1 + y (3 x^{2} \frac{d}{d y} [x])) + \frac{d}{d y} [2 x y^{3}]$

解题步骤 2.3.5

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$2 x^{4} y + 4 y^{2} x^{3} x' - (x^{3} \cdot 1 + y (3 x^{2} x')) + \frac{d}{d y} [2 x y^{3}]$

解题步骤 2.3.6

将 $x^{3}$ 乘以 $1$ 。

$2 x^{4} y + 4 y^{2} x^{3} x' - (x^{3} + y (3 x^{2} x')) + \frac{d}{d y} [2 x y^{3}]$

解题步骤 2.3.7

将 $3$ 移到 $y$ 的左侧。

$2 x^{4} y + 4 y^{2} x^{3} x' - (x^{3} + 3 y x^{2} x') + \frac{d}{d y} [2 x y^{3}]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d y} [2 x y^{3}]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 x y^{3}$ 对 $y$ 的导数是 $2 \frac{d}{d y} [x y^{3}]$ 。

$2 x^{4} y + 4 y^{2} x^{3} x' - (x^{3} + 3 y x^{2} x') + 2 \frac{d}{d y} [x y^{3}]$

解题步骤 2.4.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = x$ 且 $g (y) = y^{3}$ 。

$2 x^{4} y + 4 y^{2} x^{3} x' - (x^{3} + 3 y x^{2} x') + 2 (x \frac{d}{d y} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d y} [x])$

解题步骤 2.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$2 x^{4} y + 4 y^{2} x^{3} x' - (x^{3} + 3 y x^{2} x') + 2 (x (3 y^{2}) + y^{3} \frac{d}{d y} [x])$

解题步骤 2.4.4

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$2 x^{4} y + 4 y^{2} x^{3} x' - (x^{3} + 3 y x^{2} x') + 2 (x (3 y^{2}) + y^{3} x')$

解题步骤 2.4.5

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$2 x^{4} y + 4 y^{2} x^{3} x' - (x^{3} + 3 y x^{2} x') + 2 (3 x y^{2} + y^{3} x')$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

运用分配律。

$2 x^{4} y + 4 y^{2} x^{3} x' - x^{3} - (3 y x^{2} x') + 2 (3 x y^{2} + y^{3} x')$

解题步骤 2.5.2

运用分配律。

$2 x^{4} y + 4 y^{2} x^{3} x' - x^{3} - (3 y x^{2} x') + 2 (3 x y^{2}) + 2 (y^{3} x')$

解题步骤 2.5.3

合并项。

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解题步骤 2.5.3.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$2 x^{4} y + 4 y^{2} x^{3} x' - x^{3} - 3 (y x^{2} x') + 2 (3 x y^{2}) + 2 (y^{3} x')$

解题步骤 2.5.3.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$2 x^{4} y + 4 y^{2} x^{3} x' - x^{3} - 3 y x^{2} x' + 6 x y^{2} + 2 y^{3} x'$

解题步骤 2.5.4

重新排序项。

$- x^{3} + 2 x^{4} y + 4 x^{3} y^{2} x' - 3 x^{2} y x' + 6 y^{2} x + 2 y^{3} x'$

解题步骤 3

因为 $0$ 对于 $y$ 是常数，所以 $0$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$- x^{3} + 2 x^{4} y + 4 x^{3} y^{2} x' - 3 x^{2} y x' + 6 y^{2} x + 2 y^{3} x' = 0$

解题步骤 5

求解 $x'$ 。

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解题步骤 5.1

将所有不包含 $x'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.1.1

在等式两边都加上 $x^{3}$ 。

$2 x^{4} y + 4 x^{3} y^{2} x' - 3 x^{2} y x' + 6 y^{2} x + 2 y^{3} x' = x^{3}$

解题步骤 5.1.2

从等式两边同时减去 $2 x^{4} y$ 。

$4 x^{3} y^{2} x' - 3 x^{2} y x' + 6 y^{2} x + 2 y^{3} x' = x^{3} - 2 x^{4} y$

解题步骤 5.1.3

从等式两边同时减去 $6 y^{2} x$ 。

$4 x^{3} y^{2} x' - 3 x^{2} y x' + 2 y^{3} x' = x^{3} - 2 x^{4} y - 6 y^{2} x$

解题步骤 5.2

从 $4 x^{3} y^{2} x' - 3 x^{2} y x' + 2 y^{3} x'$ 中分解出因数 $y x'$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $4 x^{3} y^{2} x'$ 中分解出因数 $y x'$ 。

$y x' (4 x^{3} y) - 3 x^{2} y x' + 2 y^{3} x' = x^{3} - 2 x^{4} y - 6 y^{2} x$

解题步骤 5.2.2

从 $- 3 x^{2} y x'$ 中分解出因数 $y x'$ 。

$y x' (4 x^{3} y) + y x' (- 3 x^{2}) + 2 y^{3} x' = x^{3} - 2 x^{4} y - 6 y^{2} x$

解题步骤 5.2.3

从 $2 y^{3} x'$ 中分解出因数 $y x'$ 。

$y x' (4 x^{3} y) + y x' (- 3 x^{2}) + y x' (2 y^{2}) = x^{3} - 2 x^{4} y - 6 y^{2} x$

解题步骤 5.2.4

从 $y x' (4 x^{3} y) + y x' (- 3 x^{2})$ 中分解出因数 $y x'$ 。

$y x' (4 x^{3} y - 3 x^{2}) + y x' (2 y^{2}) = x^{3} - 2 x^{4} y - 6 y^{2} x$

解题步骤 5.2.5

从 $y x' (4 x^{3} y - 3 x^{2}) + y x' (2 y^{2})$ 中分解出因数 $y x'$ 。

$y x' (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2}) = x^{3} - 2 x^{4} y - 6 y^{2} x$

解题步骤 5.3

将 $y x' (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2}) = x^{3} - 2 x^{4} y - 6 y^{2} x$ 中的每一项除以 $y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $y x' (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2}) = x^{3} - 2 x^{4} y - 6 y^{2} x$ 中的每一项都除以 $y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})$ 。

$\frac{y x' (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})}{y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})} = \frac{x^{3}}{y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})} + \frac{- 2 x^{4} y}{y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})} + \frac{- 6 y^{2} x}{y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

解题步骤 5.3.2.1.2

重写表达式。

$\frac{x' (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})}{4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2}} = \frac{x^{3}}{y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})} + \frac{- 2 x^{4} y}{y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})} + \frac{- 6 y^{2} x}{y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})}$

解题步骤 5.3.2.2

约去 $4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.1

约去公因数。

解题步骤 5.3.2.2.2

用 $x'$ 除以 $1$ 。

$x' = \frac{x^{3}}{y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})} + \frac{- 2 x^{4} y}{y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})} + \frac{- 6 y^{2} x}{y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.1.1

约去公因数。

$x' = \frac{x^{3}}{y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})} + \frac{- 2 x^{4} y}{y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})} + \frac{- 6 y^{2} x}{y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})}$

解题步骤 5.3.3.1.1.2

重写表达式。

$x' = \frac{x^{3}}{y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})} + \frac{- 2 x^{4}}{4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2}} + \frac{- 6 y^{2} x}{y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})}$

解题步骤 5.3.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$x' = \frac{x^{3}}{y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})} - \frac{2 x^{4}}{4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2}} + \frac{- 6 y^{2} x}{y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})}$

解题步骤 5.3.3.1.3

约去 $y^{2}$ 和 $y$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.3.1

从 $- 6 y^{2} x$ 中分解出因数 $y$ 。

$x' = \frac{x^{3}}{y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})} - \frac{2 x^{4}}{4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2}} + \frac{y (- 6 y x)}{y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})}$

解题步骤 5.3.3.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.3.2.1

约去公因数。

$x' = \frac{x^{3}}{y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})} - \frac{2 x^{4}}{4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2}} + \frac{y (- 6 y x)}{y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})}$

解题步骤 5.3.3.1.3.2.2

重写表达式。

$x' = \frac{x^{3}}{y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})} - \frac{2 x^{4}}{4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2}} + \frac{- 6 y x}{4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2}}$

解题步骤 5.3.3.1.4

将负号移到分数的前面。

$x' = \frac{x^{3}}{y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})} - \frac{2 x^{4}}{4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2}} - \frac{6 y x}{4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2}}$

解题步骤 5.3.3.2

要将 $- \frac{2 x^{4}}{4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{y}{y}$ 。

$x' = \frac{x^{3}}{y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})} - \frac{2 x^{4}}{4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2}} \cdot \frac{y}{y} - \frac{6 y x}{4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2}}$

解题步骤 5.3.3.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})$ 的形式。

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解题步骤 5.3.3.3.1

将 $\frac{2 x^{4}}{4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2}}$ 乘以 $\frac{y}{y}$ 。

$x' = \frac{x^{3}}{y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})} - \frac{2 x^{4} y}{(4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2}) y} - \frac{6 y x}{4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2}}$

解题步骤 5.3.3.3.2

重新排序 $(4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2}) y$ 的因式。

$x' = \frac{x^{3}}{y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})} - \frac{2 x^{4} y}{y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})} - \frac{6 y x}{4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2}}$

解题步骤 5.3.3.4

在公分母上合并分子。

$x' = \frac{x^{3} - 2 x^{4} y}{y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})} - \frac{6 y x}{4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2}}$

解题步骤 5.3.3.5

从 $x^{3} - 2 x^{4} y$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

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解题步骤 5.3.3.5.1

乘以 $1$ 。

$x' = \frac{x^{3} \cdot 1 - 2 x^{4} y}{y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})} - \frac{6 y x}{4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2}}$

解题步骤 5.3.3.5.2

从 $- 2 x^{4} y$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$x' = \frac{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 2 x y)}{y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})} - \frac{6 y x}{4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2}}$

解题步骤 5.3.3.5.3

从 $x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 2 x y)$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$x' = \frac{x^{3} (1 - 2 x y)}{y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})} - \frac{6 y x}{4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2}}$

解题步骤 5.3.3.6

要将 $- \frac{6 y x}{4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{y}{y}$ 。

$x' = \frac{x^{3} (1 - 2 x y)}{y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})} - \frac{6 y x}{4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2}} \cdot \frac{y}{y}$

解题步骤 5.3.3.7

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})$ 的形式。

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解题步骤 5.3.3.7.1

将 $\frac{6 y x}{4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2}}$ 乘以 $\frac{y}{y}$ 。

$x' = \frac{x^{3} (1 - 2 x y)}{y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})} - \frac{6 y x y}{(4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2}) y}$

解题步骤 5.3.3.7.2

重新排序 $(4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2}) y$ 的因式。

$x' = \frac{x^{3} (1 - 2 x y)}{y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})} - \frac{6 y x y}{y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})}$

解题步骤 5.3.3.8

在公分母上合并分子。

$x' = \frac{x^{3} (1 - 2 x y) - 6 y x y}{y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})}$

解题步骤 5.3.3.9

化简分子。

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解题步骤 5.3.3.9.1

从 $x^{3} (1 - 2 x y) - 6 y x y$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 5.3.3.9.1.1

从 $x^{3} (1 - 2 x y)$ 中分解出因数 $x$ 。

$x' = \frac{x (x^{2} (1 - 2 x y)) - 6 y x y}{y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})}$

解题步骤 5.3.3.9.1.2

从 $- 6 y x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$x' = \frac{x (x^{2} (1 - 2 x y)) + x (- 6 y \cdot y)}{y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})}$

解题步骤 5.3.3.9.1.3

从 $x (x^{2} (1 - 2 x y)) + x (- 6 y \cdot y)$ 中分解出因数 $x$ 。

$x' = \frac{x (x^{2} (1 - 2 x y) - 6 y \cdot y)}{y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})}$

解题步骤 5.3.3.9.2

运用分配律。

$x' = \frac{x (x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 2 x y) - 6 y \cdot y)}{y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})}$

解题步骤 5.3.3.9.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$x' = \frac{x (x^{2} + x^{2} (- 2 x y) - 6 y \cdot y)}{y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})}$

解题步骤 5.3.3.9.4

使用乘法的交换性质重写。

$x' = \frac{x (x^{2} - 2 x^{2} (x y) - 6 y \cdot y)}{y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})}$

解题步骤 5.3.3.9.5

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.3.3.9.5.1

移动 $x$ 。

$x' = \frac{x (x^{2} - 2 (x \cdot x^{2}) y - 6 y \cdot y)}{y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})}$

解题步骤 5.3.3.9.5.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.3.9.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x' = \frac{x (x^{2} - 2 (x^{1} x^{2}) y - 6 y \cdot y)}{y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})}$

解题步骤 5.3.3.9.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x' = \frac{x (x^{2} - 2 x^{1 + 2} y - 6 y \cdot y)}{y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})}$

解题步骤 5.3.3.9.5.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$x' = \frac{x (x^{2} - 2 x^{3} y - 6 y \cdot y)}{y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})}$

解题步骤 5.3.3.9.6

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 5.3.3.9.6.1

移动 $y$ 。

$x' = \frac{x (x^{2} - 2 x^{3} y - 6 (y \cdot y))}{y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})}$

解题步骤 5.3.3.9.6.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$x' = \frac{x (x^{2} - 2 x^{3} y - 6 y^{2})}{y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d x}{d y}$ 替换 $x'$ 。

$\frac{d x}{d y} = \frac{x (x^{2} - 2 x^{3} y - 6 y^{2})}{y (4 x^{3} y - 3 x^{2} + 2 y^{2})}$

微积分学 示例

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