微积分学示例

$\sin (x) = e^{y}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d y} (\sin (x)) = \frac{d}{d y} (e^{y})$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = \sin (y)$ 且 $g (y) = x$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x$ 。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 2.1.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$\cos (u) \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 2.1.3

使用 $x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\cos (x) \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 2.2

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$\cos (x) x'$

解题步骤 3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ 等于 $a^{y} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{y}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$\cos (x) x' = e^{y}$

解题步骤 5

将 $\cos (x) x' = e^{y}$ 中的每一项除以 $\cos (x)$ 并化简。

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解题步骤 5.1

将 $\cos (x) x' = e^{y}$ 中的每一项都除以 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x) x'}{\cos (x)} = \frac{e^{y}}{\cos (x)}$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\cos (x) x'}{\cos (x)} = \frac{e^{y}}{\cos (x)}$

解题步骤 5.2.1.2

用 $x'$ 除以 $1$ 。

$x' = \frac{e^{y}}{\cos (x)}$

解题步骤 5.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1

分离分数。

$x' = \frac{e^{y}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 5.3.2

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$x' = \frac{e^{y}}{1} \sec (x)$

解题步骤 5.3.3

用 $e^{y}$ 除以 $1$ 。

$x' = e^{y} \sec (x)$

解题步骤 6

使用 $\frac{d x}{d y}$ 替换 $x'$ 。

$\frac{d x}{d y} = e^{y} \sec (x)$

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