微积分学示例

$x = \sqrt{125 - p^{2}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{125 - p^{2}}$ 重写成 ${(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d p} (x) = \frac{d}{d p} ({(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 3

$x$ 对 $p$ 的导数为 $x'$ 。

$x'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ 等于 $f' (g (p)) g' (p)$ ，其中 $f (p) = p^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (p) = 125 - p^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $125 - p^{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

解题步骤 4.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

解题步骤 4.1.3

使用 $125 - p^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

解题步骤 4.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

解题步骤 4.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

解题步骤 4.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

解题步骤 4.5

化简分子。

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解题步骤 4.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

解题步骤 4.5.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

解题步骤 4.6

合并分数。

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解题步骤 4.6.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

解题步骤 4.6.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(125 - p^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(125 - p^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

解题步骤 4.6.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(125 - p^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

解题步骤 4.7

根据加法法则， $125 - p^{2}$ 对 $p$ 的导数是 $\frac{d}{d p} [125] + \frac{d}{d p} [- p^{2}]$ 。

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d p} [125] + \frac{d}{d p} [- p^{2}])$

解题步骤 4.8

因为 $125$ 对于 $p$ 是常数，所以 $125$ 对 $p$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d p} [- p^{2}])$

解题步骤 4.9

将 $0$ 和 $\frac{d}{d p} [- p^{2}]$ 相加。

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d p} [- p^{2}]$

解题步骤 4.10

因为 $- 1$ 对于 $p$ 是常数，所以 $- p^{2}$ 对 $p$ 的导数是 $- \frac{d}{d p} [p^{2}]$ 。

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d p} [p^{2}])$

解题步骤 4.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ 等于 $n p^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 p))$

解题步骤 4.12

化简项。

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解题步骤 4.12.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 p)$

解题步骤 4.12.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{- 2}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} p$

解题步骤 4.12.3

组合 $\frac{- 2}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $p$ 。

$\frac{- 2 p}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.12.4

从 $- 2 p$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- p)}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.13

约去公因数。

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解题步骤 4.13.1

从 $2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- p)}{2 ({(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 4.13.2

约去公因数。

$\frac{2 (- p)}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.13.3

重写表达式。

$\frac{- p}{{(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.14

将负号移到分数的前面。

$- \frac{p}{{(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$x' = - \frac{p}{{(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d x}{d p}$ 替换 $x'$ 。

$\frac{d x}{d p} = - \frac{p}{{(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

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