微积分学示例

$C = 0.001 x^{3} + 5 x + 250$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d C} (C) = \frac{d}{d C} (0.001 x^{3} + 5 x + 250)$

解题步骤 2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d C} [C^{n}]$ 等于 $n C^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $0.001 x^{3} + 5 x + 250$ 对 $C$ 的导数是 $\frac{d}{d C} [0.001 x^{3}] + \frac{d}{d C} [5 x] + \frac{d}{d C} [250]$ 。

$\frac{d}{d C} [0.001 x^{3}] + \frac{d}{d C} [5 x] + \frac{d}{d C} [250]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d C} [0.001 x^{3}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $0.001$ 对于 $C$ 是常数，所以 $0.001 x^{3}$ 对 $C$ 的导数是 $0.001 \frac{d}{d C} [x^{3}]$ 。

$0.001 \frac{d}{d C} [x^{3}] + \frac{d}{d C} [5 x] + \frac{d}{d C} [250]$

解题步骤 3.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d C} [f (g (C))]$ 等于 $f' (g (C)) g' (C)$ ，其中 $f (C) = C^{3}$ 且 $g (C) = x$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x$ 。

$0.001 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d C} [x]) + \frac{d}{d C} [5 x] + \frac{d}{d C} [250]$

解题步骤 3.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$0.001 (3 u^{2} \frac{d}{d C} [x]) + \frac{d}{d C} [5 x] + \frac{d}{d C} [250]$

解题步骤 3.2.2.3

使用 $x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$0.001 (3 x^{2} \frac{d}{d C} [x]) + \frac{d}{d C} [5 x] + \frac{d}{d C} [250]$

解题步骤 3.2.3

将 $\frac{d}{d C} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$0.001 (3 x^{2} x') + \frac{d}{d C} [5 x] + \frac{d}{d C} [250]$

解题步骤 3.2.4

将 $3$ 乘以 $0.001$ 。

$0.003 x^{2} x' + \frac{d}{d C} [5 x] + \frac{d}{d C} [250]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d C} [5 x]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $5$ 对于 $C$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $C$ 的导数是 $5 \frac{d}{d C} [x]$ 。

$0.003 x^{2} x' + 5 \frac{d}{d C} [x] + \frac{d}{d C} [250]$

解题步骤 3.3.2

将 $\frac{d}{d C} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$0.003 x^{2} x' + 5 x' + \frac{d}{d C} [250]$

解题步骤 3.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.4.1

因为 $250$ 对于 $C$ 是常数，所以 $250$ 对 $C$ 的导数为 $0$ 。

$0.003 x^{2} x' + 5 x' + 0$

解题步骤 3.4.2

将 $0.003 x^{2} x' + 5 x'$ 和 $0$ 相加。

$0.003 x^{2} x' + 5 x'$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$1 = 0.003 x^{2} x' + 5 x'$

解题步骤 5

求解 $x'$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $0.003 x^{2} x' + 5 x' = 1$ 。

$0.003 x^{2} x' + 5 x' = 1$

解题步骤 5.2

从 $0.003 x^{2} x' + 5 x'$ 中分解出因数 $0.001 x'$ 。

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解题步骤 5.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$0.003 x' x^{2} + 5 x' = 1$

解题步骤 5.2.2

从 $0.003 x' x^{2}$ 中分解出因数 $0.001 x'$ 。

$0.001 x' (3 x^{2}) + 5 x' = 1$

解题步骤 5.2.3

从 $5 x'$ 中分解出因数 $0.001 x'$ 。

$0.001 x' (3 x^{2}) + 0.001 x' \cdot 5000 = 1$

解题步骤 5.2.4

从 $0.001 x' (3 x^{2}) + 0.001 x' \cdot 5000$ 中分解出因数 $0.001 x'$ 。

$0.001 x' (3 x^{2} + 5000) = 1$

解题步骤 5.3

将 $0.001 x' (3 x^{2} + 5000) = 1$ 中的每一项除以 $0.001 (3 x^{2} + 5000)$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $0.001 x' (3 x^{2} + 5000) = 1$ 中的每一项都除以 $0.001 (3 x^{2} + 5000)$ 。

$\frac{0.001 x' (3 x^{2} + 5000)}{0.001 (3 x^{2} + 5000)} = \frac{1}{0.001 (3 x^{2} + 5000)}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $0.001$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{0.001 x' (3 x^{2} + 5000)}{0.001 (3 x^{2} + 5000)} = \frac{1}{0.001 (3 x^{2} + 5000)}$

解题步骤 5.3.2.1.2

重写表达式。

$\frac{x' (3 x^{2} + 5000)}{3 x^{2} + 5000} = \frac{1}{0.001 (3 x^{2} + 5000)}$

解题步骤 5.3.2.2

约去 $3 x^{2} + 5000$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{x' (3 x^{2} + 5000)}{3 x^{2} + 5000} = \frac{1}{0.001 (3 x^{2} + 5000)}$

解题步骤 5.3.2.2.2

用 $x'$ 除以 $1$ 。

$x' = \frac{1}{0.001 (3 x^{2} + 5000)}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

将 $1$ 重写为 $1 (1)$ 。

$x' = \frac{1 (1)}{0.001 (3 x^{2} + 5000)}$

解题步骤 5.3.3.2

分离分数。

$x' = \frac{1}{0.001} \cdot \frac{1}{3 x^{2} + 5000}$

解题步骤 5.3.3.3

用 $1$ 除以 $0.001$ 。

$x' = 1000 \frac{1}{3 x^{2} + 5000}$

解题步骤 5.3.3.4

组合 $1000$ 和 $\frac{1}{3 x^{2} + 5000}$ 。

$x' = \frac{1000}{3 x^{2} + 5000}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d x}{d C}$ 替换 $x'$ 。

$\frac{d x}{d C} = \frac{1000}{3 x^{2} + 5000}$

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