微积分学示例

$x^{4} + t^{4} x + t^{3} - 9 = 0$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d t} (x^{4} + t^{4} x + t^{3} - 9) = \frac{d}{d t} (0)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{4} + t^{4} x + t^{3} - 9$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [x^{4}] + \frac{d}{d t} [t^{4} x] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9]$ 。

$\frac{d}{d t} [x^{4}] + \frac{d}{d t} [t^{4} x] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d t} [x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{4}$ 且 $g (t) = x$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [t^{4} x] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9]$

解题步骤 2.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 u^{3} \frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [t^{4} x] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9]$

解题步骤 2.2.1.3

使用 $x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 x^{3} \frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [t^{4} x] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9]$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{d}{d t} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$4 x^{3} x' + \frac{d}{d t} [t^{4} x] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d t} [t^{4} x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = t^{4}$ 且 $g (t) = x$ 。

$4 x^{3} x' + t^{4} \frac{d}{d t} [x] + x \frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9]$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{d}{d t} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$4 x^{3} x' + t^{4} x' + x \frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9]$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} x' + t^{4} x' + x (4 t^{3}) + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9]$

解题步骤 2.3.4

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$4 x^{3} x' + t^{4} x' + 4 x t^{3} + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9]$

解题步骤 2.4

求微分。

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解题步骤 2.4.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 x^{3} x' + t^{4} x' + 4 x t^{3} + 3 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 9]$

解题步骤 2.4.2

因为 $- 9$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 9$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$4 x^{3} x' + t^{4} x' + 4 x t^{3} + 3 t^{2} + 0$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

将 $4 x^{3} x' + t^{4} x' + 4 x t^{3} + 3 t^{2}$ 和 $0$ 相加。

$4 x^{3} x' + t^{4} x' + 4 x t^{3} + 3 t^{2}$

解题步骤 2.5.2

重新排序项。

$3 t^{2} + 4 x^{3} x' + t^{4} x' + 4 t^{3} x$

解题步骤 3

因为 $0$ 对于 $t$ 是常数，所以 $0$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$3 t^{2} + 4 x^{3} x' + t^{4} x' + 4 t^{3} x = 0$

解题步骤 5

求解 $x'$ 。

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解题步骤 5.1

将所有不包含 $x'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.1.1

从等式两边同时减去 $3 t^{2}$ 。

$4 x^{3} x' + t^{4} x' + 4 t^{3} x = - 3 t^{2}$

解题步骤 5.1.2

从等式两边同时减去 $4 t^{3} x$ 。

$4 x^{3} x' + t^{4} x' = - 3 t^{2} - 4 t^{3} x$

解题步骤 5.2

从 $4 x^{3} x' + t^{4} x'$ 中分解出因数 $x'$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $4 x^{3} x'$ 中分解出因数 $x'$ 。

$x' (4 x^{3}) + t^{4} x' = - 3 t^{2} - 4 t^{3} x$

解题步骤 5.2.2

从 $t^{4} x'$ 中分解出因数 $x'$ 。

$x' (4 x^{3}) + x' (t^{4}) = - 3 t^{2} - 4 t^{3} x$

解题步骤 5.2.3

从 $x' (4 x^{3}) + x' (t^{4})$ 中分解出因数 $x'$ 。

$x' (4 x^{3} + t^{4}) = - 3 t^{2} - 4 t^{3} x$

解题步骤 5.3

将 $x' (4 x^{3} + t^{4}) = - 3 t^{2} - 4 t^{3} x$ 中的每一项除以 $4 x^{3} + t^{4}$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $x' (4 x^{3} + t^{4}) = - 3 t^{2} - 4 t^{3} x$ 中的每一项都除以 $4 x^{3} + t^{4}$ 。

$\frac{x' (4 x^{3} + t^{4})}{4 x^{3} + t^{4}} = \frac{- 3 t^{2}}{4 x^{3} + t^{4}} + \frac{- 4 t^{3} x}{4 x^{3} + t^{4}}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $4 x^{3} + t^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x' (4 x^{3} + t^{4})}{4 x^{3} + t^{4}} = \frac{- 3 t^{2}}{4 x^{3} + t^{4}} + \frac{- 4 t^{3} x}{4 x^{3} + t^{4}}$

解题步骤 5.3.2.1.2

用 $x'$ 除以 $1$ 。

$x' = \frac{- 3 t^{2}}{4 x^{3} + t^{4}} + \frac{- 4 t^{3} x}{4 x^{3} + t^{4}}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

在公分母上合并分子。

$x' = \frac{- 3 t^{2} - 4 t^{3} x}{4 x^{3} + t^{4}}$

解题步骤 5.3.3.2

从 $- 3 t^{2} - 4 t^{3} x$ 中分解出因数 $t^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.3.2.1

从 $- 3 t^{2}$ 中分解出因数 $t^{2}$ 。

$x' = \frac{t^{2} \cdot - 3 - 4 t^{3} x}{4 x^{3} + t^{4}}$

解题步骤 5.3.3.2.2

从 $- 4 t^{3} x$ 中分解出因数 $t^{2}$ 。

$x' = \frac{t^{2} \cdot - 3 + t^{2} (- 4 t x)}{4 x^{3} + t^{4}}$

解题步骤 5.3.3.2.3

从 $t^{2} \cdot - 3 + t^{2} (- 4 t x)$ 中分解出因数 $t^{2}$ 。

$x' = \frac{t^{2} (- 3 - 4 t x)}{4 x^{3} + t^{4}}$

解题步骤 5.3.3.3

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x' = \frac{t^{2} (- 1 (3) - 4 t x)}{4 x^{3} + t^{4}}$

解题步骤 5.3.3.4

从 $- 4 t x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x' = \frac{t^{2} (- 1 (3) - (4 t x))}{4 x^{3} + t^{4}}$

解题步骤 5.3.3.5

从 $- 1 (3) - (4 t x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x' = \frac{t^{2} (- 1 (3 + 4 t x))}{4 x^{3} + t^{4}}$

解题步骤 5.3.3.6

将负号移到分数的前面。

$x' = - \frac{t^{2} (3 + 4 t x)}{4 x^{3} + t^{4}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d x}{d t}$ 替换 $x'$ 。

$\frac{d x}{d t} = - \frac{t^{2} (3 + 4 t x)}{4 x^{3} + t^{4}}$

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