微积分学示例

$x^{3} + y^{3} = 3 x y^{2}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (3 x y^{2})$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $x^{3} + y^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.2.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

解题步骤 3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y^{2}$ 。

$3 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$3 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$3 (2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.5

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$3 (2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 (2 x y y' + y^{2} \cdot 1)$

解题步骤 3.7

将 $y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$3 (2 x y y' + y^{2})$

解题步骤 3.8

化简。

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解题步骤 3.8.1

运用分配律。

$3 (2 x y y') + 3 y^{2}$

解题步骤 3.8.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6 x y y' + 3 y^{2}$

解题步骤 3.8.3

重新排序项。

$3 y^{2} + 6 x y y'$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 3 y^{2} + 6 x y y'$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

从等式两边同时减去 $6 x y y'$ 。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 6 x y y' = 3 y^{2}$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $3 x^{2}$ 。

$3 y^{2} y' - 6 x y y' = 3 y^{2} - 3 x^{2}$

解题步骤 5.3

从 $3 y^{2} y' - 6 x y y'$ 中分解出因数 $3 y y'$ 。

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解题步骤 5.3.1

从 $3 y^{2} y'$ 中分解出因数 $3 y y'$ 。

$3 y y' y - 6 x y y' = 3 y^{2} - 3 x^{2}$

解题步骤 5.3.2

从 $- 6 x y y'$ 中分解出因数 $3 y y'$ 。

$3 y y' y + 3 y y' (- 2 x) = 3 y^{2} - 3 x^{2}$

解题步骤 5.3.3

从 $3 y y' y + 3 y y' (- 2 x)$ 中分解出因数 $3 y y'$ 。

$3 y y' (y - 2 x) = 3 y^{2} - 3 x^{2}$

解题步骤 5.4

将 $3 y y' (y - 2 x) = 3 y^{2} - 3 x^{2}$ 中的每一项除以 $3 y (y - 2 x)$ 并化简。

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解题步骤 5.4.1

将 $3 y y' (y - 2 x) = 3 y^{2} - 3 x^{2}$ 中的每一项都除以 $3 y (y - 2 x)$ 。

$\frac{3 y y' (y - 2 x)}{3 y (y - 2 x)} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

解题步骤 5.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 y y' (y - 2 x)}{3 y (y - 2 x)} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

解题步骤 5.4.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y y' (y - 2 x)}{y (y - 2 x)} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

解题步骤 5.4.2.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y y' (y - 2 x)}{y (y - 2 x)} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

解题步骤 5.4.2.2.2

重写表达式。

$\frac{y' (y - 2 x)}{y - 2 x} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

解题步骤 5.4.2.3

约去 $y - 2 x$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.3.1

约去公因数。

$\frac{y' (y - 2 x)}{y - 2 x} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

解题步骤 5.4.2.3.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

解题步骤 5.4.3

化简右边。

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解题步骤 5.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.3.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.3.1.1.1

约去公因数。

$y' = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

解题步骤 5.4.3.1.1.2

重写表达式。

$y' = \frac{y^{2}}{y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

解题步骤 5.4.3.1.2

约去 $y^{2}$ 和 $y$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.3.1.2.1

从 $y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{y \cdot y}{y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

解题步骤 5.4.3.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.4.3.1.2.2.1

约去公因数。

$y' = \frac{y \cdot y}{y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

解题步骤 5.4.3.1.2.2.2

重写表达式。

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

解题步骤 5.4.3.1.3

约去 $- 3$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.3.1.3.1

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 y (y - 2 x)}$

解题步骤 5.4.3.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 5.4.3.1.3.2.1

从 $3 y (y - 2 x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y (y - 2 x))}$

解题步骤 5.4.3.1.3.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y (y - 2 x))}$

解题步骤 5.4.3.1.3.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{- x^{2}}{y (y - 2 x)}$

解题步骤 5.4.3.1.4

将负号移到分数的前面。

$y' = \frac{y}{y - 2 x} - \frac{x^{2}}{y (y - 2 x)}$

解题步骤 5.4.3.2

要将 $\frac{y}{y - 2 x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{y}{y}$ 。

$y' = \frac{y}{y - 2 x} \cdot \frac{y}{y} - \frac{x^{2}}{y (y - 2 x)}$

解题步骤 5.4.3.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(y - 2 x) y$ 的形式。

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解题步骤 5.4.3.3.1

将 $\frac{y}{y - 2 x}$ 乘以 $\frac{y}{y}$ 。

$y' = \frac{y \cdot y}{(y - 2 x) y} - \frac{x^{2}}{y (y - 2 x)}$

解题步骤 5.4.3.3.2

重新排序 $(y - 2 x) y$ 的因式。

$y' = \frac{y \cdot y}{y (y - 2 x)} - \frac{x^{2}}{y (y - 2 x)}$

解题步骤 5.4.3.4

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{y \cdot y - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

解题步骤 5.4.3.5

化简分子。

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解题步骤 5.4.3.5.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$y' = \frac{y^{1} y - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

解题步骤 5.4.3.5.2

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$y' = \frac{y^{1} y^{1} - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

解题步骤 5.4.3.5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' = \frac{y^{1 + 1} - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

解题步骤 5.4.3.5.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y' = \frac{y^{2} - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

解题步骤 5.4.3.5.5

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = y$ 和 $b = x$ 。

$y' = \frac{(y + x) (y - x)}{y (y - 2 x)}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y + x) (y - x)}{y (y - 2 x)}$

微积分学 示例

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