微积分学示例

$x = \frac{500}{\ln (p^{2} + 1)}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d p} (x) = \frac{d}{d p} (\frac{500}{\ln (p^{2} + 1)})$

解题步骤 2

$x$ 对 $p$ 的导数为 $x'$ 。

$x'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 3.1.1

因为 $500$ 对于 $p$ 是常数，所以 $\frac{500}{\ln (p^{2} + 1)}$ 对 $p$ 的导数是 $500 \frac{d}{d p} [\frac{1}{\ln (p^{2} + 1)}]$ 。

$500 \frac{d}{d p} [\frac{1}{\ln (p^{2} + 1)}]$

解题步骤 3.1.2

将 $\frac{1}{\ln (p^{2} + 1)}$ 重写为 $\ln^{- 1} (p^{2} + 1)$ 。

$500 \frac{d}{d p} [\ln^{- 1} (p^{2} + 1)]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ 等于 $f' (g (p)) g' (p)$ ，其中 $f (p) = p^{- 1}$ 且 $g (p) = \ln (p^{2} + 1)$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\ln (p^{2} + 1)$ 。

$500 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d p} [\ln (p^{2} + 1)])$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$500 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d p} [\ln (p^{2} + 1)])$

解题步骤 3.2.3

使用 $\ln (p^{2} + 1)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$500 (- \ln^{- 2} (p^{2} + 1) \frac{d}{d p} [\ln (p^{2} + 1)])$

解题步骤 3.3

将 $- 1$ 乘以 $500$ 。

$- 500 (\ln^{- 2} (p^{2} + 1) \frac{d}{d p} [\ln (p^{2} + 1)])$

解题步骤 3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ 等于 $f' (g (p)) g' (p)$ ，其中 $f (p) = \ln (p)$ 且 $g (p) = p^{2} + 1$ 。

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解题步骤 3.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $p^{2} + 1$ 。

$- 500 \ln^{- 2} (p^{2} + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d p} [p^{2} + 1])$

解题步骤 3.4.2

$\ln (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$- 500 \ln^{- 2} (p^{2} + 1) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1])$

解题步骤 3.4.3

使用 $p^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- 500 \ln^{- 2} (p^{2} + 1) (\frac{1}{p^{2} + 1} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1])$

解题步骤 3.5

求微分。

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解题步骤 3.5.1

组合 $\frac{1}{p^{2} + 1}$ 和 $- 500$ 。

$\frac{- 500}{p^{2} + 1} \ln^{- 2} (p^{2} + 1) \frac{d}{d p} [p^{2} + 1]$

解题步骤 3.5.2

合并分数。

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解题步骤 3.5.2.1

组合 $\frac{- 500}{p^{2} + 1}$ 和 $\ln^{- 2} (p^{2} + 1)$ 。

$\frac{- 500 \ln^{- 2} (p^{2} + 1)}{p^{2} + 1} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1]$

解题步骤 3.5.2.2

化简表达式。

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解题步骤 3.5.2.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $\ln^{- 2} (p^{2} + 1)$ 移动到分母。

$\frac{- 500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1]$

解题步骤 3.5.2.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1]$

解题步骤 3.5.3

根据加法法则， $p^{2} + 1$ 对 $p$ 的导数是 $\frac{d}{d p} [p^{2}] + \frac{d}{d p} [1]$ 。

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} (\frac{d}{d p} [p^{2}] + \frac{d}{d p} [1])$

解题步骤 3.5.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ 等于 $n p^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} (2 p + \frac{d}{d p} [1])$

解题步骤 3.5.5

因为 $1$ 对于 $p$ 是常数，所以 $1$ 对 $p$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} (2 p + 0)$

解题步骤 3.5.6

合并分数。

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解题步骤 3.5.6.1

将 $2 p$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} (2 p)$

解题步骤 3.5.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} p$

解题步骤 3.5.6.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$ 。

$\frac{- 2 \cdot 500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} p$

解题步骤 3.5.6.4

将 $- 2$ 乘以 $500$ 。

$\frac{- 1000}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} p$

解题步骤 3.5.6.5

组合 $\frac{- 1000}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$ 和 $p$ 。

$\frac{- 1000 p}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$

解题步骤 3.5.6.6

化简表达式。

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解题步骤 3.5.6.6.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1000 p}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$

解题步骤 3.5.6.6.2

将 $- \frac{1000 p}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{1000 p}{\ln^{2} (p^{2} + 1) (p^{2} + 1)}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$x' = - \frac{1000 p}{\ln^{2} (p^{2} + 1) (p^{2} + 1)}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d x}{d p}$ 替换 $x'$ 。

$\frac{d x}{d p} = - \frac{1000 p}{\ln^{2} (p^{2} + 1) (p^{2} + 1)}$

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