微积分学示例

$V = p r^{2} (2 p r - 24)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d r} (V) = \frac{d}{d r} (p r^{2} (2 p r - 24))$

解题步骤 2

$V$ 对 $r$ 的导数为 $V'$ 。

$V'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $p$ 对于 $r$ 是常数，所以 $p r^{2} (2 p r - 24)$ 对 $r$ 的导数是 $p \frac{d}{d r} [r^{2} (2 p r - 24)]$ 。

$p \frac{d}{d r} [r^{2} (2 p r - 24)]$

解题步骤 3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ 等于 $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ ，其中 $f (r) = r^{2}$ 且 $g (r) = 2 p r - 24$ 。

$p (r^{2} \frac{d}{d r} [2 p r - 24] + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

根据加法法则， $2 p r - 24$ 对 $r$ 的导数是 $\frac{d}{d r} [2 p r] + \frac{d}{d r} [- 24]$ 。

$p (r^{2} (\frac{d}{d r} [2 p r] + \frac{d}{d r} [- 24]) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

解题步骤 3.3.2

因为 $2 p$ 对于 $r$ 是常数，所以 $2 p r$ 对 $r$ 的导数是 $2 p \frac{d}{d r} [r]$ 。

$p (r^{2} (2 p \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [- 24]) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

解题步骤 3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$p (r^{2} (2 p \cdot 1 + \frac{d}{d r} [- 24]) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

解题步骤 3.3.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$p (r^{2} (2 p + \frac{d}{d r} [- 24]) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

解题步骤 3.3.5

因为 $- 24$ 对于 $r$ 是常数，所以 $- 24$ 对 $r$ 的导数为 $0$ 。

$p (r^{2} (2 p + 0) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

解题步骤 3.3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.3.6.1

将 $2 p$ 和 $0$ 相加。

$p (r^{2} (2 p) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

解题步骤 3.3.6.2

将 $2$ 移到 $r^{2}$ 的左侧。

$p (2 \cdot r^{2} p + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

解题步骤 3.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$p (2 r^{2} p + (2 p r - 24) (2 r))$

解题步骤 3.3.8

将 $2$ 移到 $2 p r - 24$ 的左侧。

$p (2 r^{2} p + 2 \cdot (2 p r - 24) r)$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

运用分配律。

$p (2 r^{2} p + (2 (2 p r) + 2 \cdot - 24) r)$

解题步骤 3.4.2

运用分配律。

$p (2 r^{2} p + 2 (2 p r) r + 2 \cdot - 24 r)$

解题步骤 3.4.3

运用分配律。

$p (2 r^{2} p) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

解题步骤 3.4.4

合并项。

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解题步骤 3.4.4.1

对 $p$ 进行 $1$ 次方运算。

$p^{1} p (2 r^{2}) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

解题步骤 3.4.4.2

对 $p$ 进行 $1$ 次方运算。

$p^{1} p^{1} (2 r^{2}) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

解题步骤 3.4.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$p^{1 + 1} (2 r^{2}) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

解题步骤 3.4.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$p^{2} (2 r^{2}) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

解题步骤 3.4.4.5

将 $2$ 移到 $p^{2}$ 的左侧。

$2 \cdot p^{2} r^{2} + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

解题步骤 3.4.4.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 p^{2} r^{2} + p (4 (p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

解题步骤 3.4.4.7

对 $r$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 p^{2} r^{2} + p (4 p (r^{1} r)) + p (2 \cdot - 24 r)$

解题步骤 3.4.4.8

对 $r$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 p^{2} r^{2} + p (4 p (r^{1} r^{1})) + p (2 \cdot - 24 r)$

解题步骤 3.4.4.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 p^{2} r^{2} + p (4 p r^{1 + 1}) + p (2 \cdot - 24 r)$

解题步骤 3.4.4.10

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 p^{2} r^{2} + p (4 p r^{2}) + p (2 \cdot - 24 r)$

解题步骤 3.4.4.11

对 $p$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 p^{2} r^{2} + 4 (p^{1} p) r^{2} + p (2 \cdot - 24 r)$

解题步骤 3.4.4.12

对 $p$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 p^{2} r^{2} + 4 (p^{1} p^{1}) r^{2} + p (2 \cdot - 24 r)$

解题步骤 3.4.4.13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 p^{2} r^{2} + 4 p^{1 + 1} r^{2} + p (2 \cdot - 24 r)$

解题步骤 3.4.4.14

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 p^{2} r^{2} + 4 p^{2} r^{2} + p (2 \cdot - 24 r)$

解题步骤 3.4.4.15

将 $2$ 乘以 $- 24$ 。

$2 p^{2} r^{2} + 4 p^{2} r^{2} + p (- 48 r)$

解题步骤 3.4.4.16

将 $2 p^{2} r^{2}$ 和 $4 p^{2} r^{2}$ 相加。

$6 p^{2} r^{2} + p (- 48 r)$

解题步骤 3.4.5

重新排序项。

$6 p^{2} r^{2} - 48 p r$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$V' = 6 p^{2} r^{2} - 48 p r$

解题步骤 5

使用 $\frac{d V}{d r}$ 替换 $V'$ 。

$\frac{d V}{d r} = 6 p^{2} r^{2} - 48 p r$

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