微积分学示例

$x^{2} - x p + p^{3} = 8$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d p} (x^{2} - x p + p^{3}) = \frac{d}{d p} (8)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{2} - x p + p^{3}$ 对 $p$ 的导数是 $\frac{d}{d p} [x^{2}] + \frac{d}{d p} [- x p] + \frac{d}{d p} [p^{3}]$ 。

$\frac{d}{d p} [x^{2}] + \frac{d}{d p} [- x p] + \frac{d}{d p} [p^{3}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d p} [x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ 等于 $f' (g (p)) g' (p)$ ，其中 $f (p) = p^{2}$ 且 $g (p) = x$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d p} [x] + \frac{d}{d p} [- x p] + \frac{d}{d p} [p^{3}]$

解题步骤 2.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u \frac{d}{d p} [x] + \frac{d}{d p} [- x p] + \frac{d}{d p} [p^{3}]$

解题步骤 2.2.1.3

使用 $x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 x \frac{d}{d p} [x] + \frac{d}{d p} [- x p] + \frac{d}{d p} [p^{3}]$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{d}{d p} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$2 x x' + \frac{d}{d p} [- x p] + \frac{d}{d p} [p^{3}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d p} [- x p]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 1$ 对于 $p$ 是常数，所以 $- x p$ 对 $p$ 的导数是 $- \frac{d}{d p} [x p]$ 。

$2 x x' - \frac{d}{d p} [x p] + \frac{d}{d p} [p^{3}]$

解题步骤 2.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d p} [f (p) g (p)]$ 等于 $f (p) \frac{d}{d p} [g (p)] + g (p) \frac{d}{d p} [f (p)]$ ，其中 $f (p) = x$ 且 $g (p) = p$ 。

$2 x x' - (x \frac{d}{d p} [p] + p \frac{d}{d p} [x]) + \frac{d}{d p} [p^{3}]$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ 等于 $n p^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x x' - (x \cdot 1 + p \frac{d}{d p} [x]) + \frac{d}{d p} [p^{3}]$

解题步骤 2.3.4

将 $\frac{d}{d p} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$2 x x' - (x \cdot 1 + p x') + \frac{d}{d p} [p^{3}]$

解题步骤 2.3.5

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$2 x x' - (x + p x') + \frac{d}{d p} [p^{3}]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ 等于 $n p^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$2 x x' - (x + p x') + 3 p^{2}$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

运用分配律。

$2 x x' - x - (p x') + 3 p^{2}$

解题步骤 2.5.2

去掉多余的括号。

$2 x x' - x - p x' + 3 p^{2}$

解题步骤 2.5.3

重新排序项。

$3 p^{2} + 2 x x' - p x' - x$

解题步骤 3

因为 $8$ 对于 $p$ 是常数，所以 $8$ 对 $p$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$3 p^{2} + 2 x x' - p x' - x = 0$

解题步骤 5

求解 $x'$ 。

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解题步骤 5.1

将所有不包含 $x'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.1.1

从等式两边同时减去 $3 p^{2}$ 。

$2 x x' - p x' - x = - 3 p^{2}$

解题步骤 5.1.2

在等式两边都加上 $x$ 。

$2 x x' - p x' = - 3 p^{2} + x$

解题步骤 5.2

从 $2 x x' - p x'$ 中分解出因数 $x'$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $2 x x'$ 中分解出因数 $x'$ 。

$x' (2 x) - p x' = - 3 p^{2} + x$

解题步骤 5.2.2

从 $- p x'$ 中分解出因数 $x'$ 。

$x' (2 x) + x' (- p) = - 3 p^{2} + x$

解题步骤 5.2.3

从 $x' (2 x) + x' (- p)$ 中分解出因数 $x'$ 。

$x' (2 x - p) = - 3 p^{2} + x$

解题步骤 5.3

将 $x' (2 x - p) = - 3 p^{2} + x$ 中的每一项除以 $2 x - p$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $x' (2 x - p) = - 3 p^{2} + x$ 中的每一项都除以 $2 x - p$ 。

$\frac{x' (2 x - p)}{2 x - p} = \frac{- 3 p^{2}}{2 x - p} + \frac{x}{2 x - p}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $2 x - p$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x' (2 x - p)}{2 x - p} = \frac{- 3 p^{2}}{2 x - p} + \frac{x}{2 x - p}$

解题步骤 5.3.2.1.2

用 $x'$ 除以 $1$ 。

$x' = \frac{- 3 p^{2}}{2 x - p} + \frac{x}{2 x - p}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

在公分母上合并分子。

$x' = \frac{- 3 p^{2} + x}{2 x - p}$

解题步骤 5.3.3.2

从 $- 3 p^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x' = \frac{- (3 p^{2}) + x}{2 x - p}$

解题步骤 5.3.3.3

从 $x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x' = \frac{- (3 p^{2}) - 1 (- x)}{2 x - p}$

解题步骤 5.3.3.4

从 $- (3 p^{2}) - 1 (- x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x' = \frac{- (3 p^{2} - x)}{2 x - p}$

解题步骤 5.3.3.5

化简表达式。

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解题步骤 5.3.3.5.1

将 $- (3 p^{2} - x)$ 重写为 $- 1 (3 p^{2} - x)$ 。

$x' = \frac{- 1 (3 p^{2} - x)}{2 x - p}$

解题步骤 5.3.3.5.2

将负号移到分数的前面。

$x' = - \frac{3 p^{2} - x}{2 x - p}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d x}{d p}$ 替换 $x'$ 。

$\frac{d x}{d p} = - \frac{3 p^{2} - x}{2 x - p}$

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