微积分学示例

$v = \frac{1}{3} \cdot (p (2 a x^{2} - x^{3}))$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$x' = \frac{1}{3} \cdot (p (2 a x^{2} - x^{3}))$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x'} x' = \frac{d}{d x'} (\frac{1}{3} \cdot (p (2 a x^{2} - x^{3})))$

解题步骤 3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [{x'}^{n}]$ 等于 $n {x'}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

求微分。

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解题步骤 4.1.1

组合 $p$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{d}{d v} [\frac{p}{3} \cdot (2 a x^{2} - x^{3})]$

解题步骤 4.1.2

因为 $\frac{p}{3}$ 对于 $x'$ 是常数，所以 $\frac{p}{3} (2 a x^{2} - x^{3})$ 对 $x'$ 的导数是 $\frac{p}{3} \frac{d}{d v} [2 a x^{2} - x^{3}]$ 。

$\frac{p}{3} \frac{d}{d v} [2 a x^{2} - x^{3}]$

解题步骤 4.1.3

根据加法法则， $2 a x^{2} - x^{3}$ 对 $x'$ 的导数是 $\frac{d}{d v} [2 a x^{2}] + \frac{d}{d v} [- x^{3}]$ 。

$\frac{p}{3} (\frac{d}{d v} [2 a x^{2}] + \frac{d}{d v} [- x^{3}])$

解题步骤 4.1.4

因为 $2 a$ 对于 $x'$ 是常数，所以 $2 a x^{2}$ 对 $x'$ 的导数是 $2 a \frac{d}{d v} [x^{2}]$ 。

$\frac{p}{3} (2 a \frac{d}{d v} [x^{2}] + \frac{d}{d v} [- x^{3}])$

解题步骤 4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [f (g (x'))]$ 等于 $f' (g (x')) g' (x')$ ，其中 $f (x') = {x'}^{2}$ 且 $g (x') = x$ 。

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解题步骤 4.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x$ 。

$\frac{p}{3} (2 a (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d v} [x]) + \frac{d}{d v} [- x^{3}])$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{p}{3} (2 a (2 u_{1} \frac{d}{d v} [x]) + \frac{d}{d v} [- x^{3}])$

解题步骤 4.2.3

使用 $x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{p}{3} (2 a (2 x \frac{d}{d v} [x]) + \frac{d}{d v} [- x^{3}])$

解题步骤 4.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{p}{3} (4 a (x \frac{d}{d v} [x]) + \frac{d}{d v} [- x^{3}])$

解题步骤 4.4

将 $\frac{d}{d v} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$\frac{p}{3} (4 a x x' + \frac{d}{d v} [- x^{3}])$

解题步骤 4.5

因为 $- 1$ 对于 $x'$ 是常数，所以 $- x^{3}$ 对 $x'$ 的导数是 $- \frac{d}{d v} [x^{3}]$ 。

$\frac{p}{3} (4 a x x' - \frac{d}{d v} [x^{3}])$

解题步骤 4.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [f (g (x'))]$ 等于 $f' (g (x')) g' (x')$ ，其中 $f (x') = {x'}^{3}$ 且 $g (x') = x$ 。

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解题步骤 4.6.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x$ 。

$\frac{p}{3} (4 a x x' - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d v} [x]))$

解题步骤 4.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{p}{3} (4 a x x' - (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d v} [x]))$

解题步骤 4.6.3

使用 $x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{p}{3} (4 a x x' - (3 x^{2} \frac{d}{d v} [x]))$

解题步骤 4.7

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{p}{3} (4 a x x' - 3 (x^{2} \frac{d}{d v} [x]))$

解题步骤 4.8

将 $\frac{d}{d v} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$\frac{p}{3} (4 a x x' - 3 x^{2} x')$

解题步骤 4.9

化简。

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解题步骤 4.9.1

运用分配律。

$\frac{p}{3} (4 a x x') + \frac{p}{3} (- 3 x^{2} x')$

解题步骤 4.9.2

合并项。

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解题步骤 4.9.2.1

组合 $4$ 和 $\frac{p}{3}$ 。

$\frac{4 p}{3} (a x x') + \frac{p}{3} (- 3 x^{2} x')$

解题步骤 4.9.2.2

组合 $a$ 和 $\frac{4 p}{3}$ 。

$\frac{a (4 p)}{3} (x x') + \frac{p}{3} (- 3 x^{2} x')$

解题步骤 4.9.2.3

组合 $x$ 和 $\frac{a (4 p)}{3}$ 。

$\frac{x (a (4 p))}{3} x' + \frac{p}{3} (- 3 x^{2} x')$

解题步骤 4.9.2.4

组合 $\frac{x (a (4 p))}{3}$ 和 $x'$ 。

$\frac{x (a (4 p)) x'}{3} + \frac{p}{3} (- 3 x^{2} x')$

解题步骤 4.9.2.5

将 $4$ 移到 $a$ 的左侧。

$\frac{x (4 \cdot a p) x'}{3} + \frac{p}{3} (- 3 x^{2} x')$

解题步骤 4.9.2.6

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{4 \cdot x a p x'}{3} + \frac{p}{3} (- 3 x^{2} x')$

解题步骤 4.9.2.7

组合 $- 3$ 和 $\frac{p}{3}$ 。

$\frac{4 x a p x'}{3} + \frac{- 3 p}{3} (x^{2} x')$

解题步骤 4.9.2.8

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{- 3 p}{3}$ 。

$\frac{4 x a p x'}{3} + \frac{x^{2} (- 3 p)}{3} x'$

解题步骤 4.9.2.9

组合 $\frac{x^{2} (- 3 p)}{3}$ 和 $x'$ 。

$\frac{4 x a p x'}{3} + \frac{x^{2} (- 3 p) x'}{3}$

解题步骤 4.9.2.10

约去 $- 3$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.9.2.10.1

从 $x^{2} (- 3 p) x'$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{4 x a p x'}{3} + \frac{3 (x^{2} (- p) x')}{3}$

解题步骤 4.9.2.10.2

约去公因数。

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解题步骤 4.9.2.10.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{4 x a p x'}{3} + \frac{3 (x^{2} (- p) x')}{3 (1)}$

解题步骤 4.9.2.10.2.2

约去公因数。

$\frac{4 x a p x'}{3} + \frac{3 (x^{2} (- p) x')}{3 \cdot 1}$

解题步骤 4.9.2.10.2.3

重写表达式。

$\frac{4 x a p x'}{3} + \frac{x^{2} (- p) x'}{1}$

解题步骤 4.9.2.10.2.4

用 $x^{2} (- p) x'$ 除以 $1$ 。

$\frac{4 x a p x'}{3} + x^{2} (- p) x'$

解题步骤 4.9.3

重新排序项。

$\frac{4 x a p x'}{3} - x^{2} p x'$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$1 = \frac{4 x a p x'}{3} - x^{2} p x'$

解题步骤 6

求解 $x'$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $\frac{4 x a p x'}{3} - x^{2} p x' = 1$ 。

$\frac{4 x a p x'}{3} - x^{2} p x' = 1$

解题步骤 6.2

从 $\frac{4 x a p x'}{3} - x^{2} p x'$ 中分解出因数 $x p x'$ 。

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解题步骤 6.2.1

从 $\frac{4 x a p x'}{3}$ 中分解出因数 $x p x'$ 。

$x p x' \frac{4 a}{3} - x^{2} p x' = 1$

解题步骤 6.2.2

从 $- x^{2} p x'$ 中分解出因数 $x p x'$ 。

$x p x' \frac{4 a}{3} + x p x' (- x) = 1$

解题步骤 6.2.3

从 $x p x' \frac{4 a}{3} + x p x' (- x)$ 中分解出因数 $x p x'$ 。

$x p x' (\frac{4 a}{3} - x) = 1$

解题步骤 6.3

将 $x p x' (\frac{4 a}{3} - x) = 1$ 中的每一项除以 $x p (\frac{4 a}{3} - x)$ 并化简。

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解题步骤 6.3.1

将 $x p x' (\frac{4 a}{3} - x) = 1$ 中的每一项都除以 $x p (\frac{4 a}{3} - x)$ 。

$\frac{x p x' (\frac{4 a}{3} - x)}{x p (\frac{4 a}{3} - x)} = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} - x)}$

解题步骤 6.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x p x' (\frac{4 a}{3} - x)}{x p (\frac{4 a}{3} - x)} = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} - x)}$

解题步骤 6.3.2.1.2

重写表达式。

$\frac{p x' (\frac{4 a}{3} - x)}{p (\frac{4 a}{3} - x)} = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} - x)}$

解题步骤 6.3.2.2

约去 $p$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{p x' (\frac{4 a}{3} - x)}{p (\frac{4 a}{3} - x)} = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} - x)}$

解题步骤 6.3.2.2.2

重写表达式。

$\frac{x' (\frac{4 a}{3} - x)}{\frac{4 a}{3} - x} = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} - x)}$

解题步骤 6.3.2.3

约去 $\frac{4 a}{3} - x$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.3.1

约去公因数。

$\frac{x' (\frac{4 a}{3} - x)}{\frac{4 a}{3} - x} = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} - x)}$

解题步骤 6.3.2.3.2

用 $x'$ 除以 $1$ 。

$x' = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} - x)}$

解题步骤 6.3.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.3.1

化简分母。

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解题步骤 6.3.3.1.1

要将 $- x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x' = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} - x \cdot \frac{3}{3})}$

解题步骤 6.3.3.1.2

组合 $- x$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x' = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} + \frac{- x \cdot 3}{3})}$

解题步骤 6.3.3.1.3

在公分母上合并分子。

$x' = \frac{1}{x p \frac{4 a - x \cdot 3}{3}}$

解题步骤 6.3.3.1.4

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$x' = \frac{1}{x p \frac{4 a - 3 x}{3}}$

解题步骤 6.3.3.1.5

合并指数。

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解题步骤 6.3.3.1.5.1

组合 $x$ 和 $\frac{4 a - 3 x}{3}$ 。

$x' = \frac{1}{p \frac{x (4 a - 3 x)}{3}}$

解题步骤 6.3.3.1.5.2

组合 $p$ 和 $\frac{x (4 a - 3 x)}{3}$ 。

$x' = \frac{1}{\frac{p (x (4 a - 3 x))}{3}}$

解题步骤 6.3.3.1.6

去掉多余的括号。

$x' = \frac{1}{\frac{p x (4 a - 3 x)}{3}}$

解题步骤 6.3.3.2

将分子乘以分母的倒数。

$x' = 1 \frac{3}{p x (4 a - 3 x)}$

解题步骤 6.3.3.3

将 $\frac{3}{p x (4 a - 3 x)}$ 乘以 $1$ 。

$x' = \frac{3}{p x (4 a - 3 x)}$

解题步骤 7

使用 $\frac{d x}{d v}$ 替换 $x'$ 。

$\frac{d x}{d v} = \frac{3}{p x (4 a - 3 x)}$

微积分学 示例

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