微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{4^{x}}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{4}}{lim_{x \to \infty} 4^{x}}$

解题步骤 1.1.2

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4^{x}}$

解题步骤 1.1.3

因为指数 $x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $4^{x}$ 趋于 $\infty$ 。

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 1.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{4^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

解题步骤 1.3.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $4$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{4^{x} \ln (4)}$

解题步骤 2

因为项 $\frac{4}{\ln (4)}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{4^{x}}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x^{3}}{lim_{x \to \infty} 4^{x}}$

解题步骤 3.1.2

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4^{x}}$

解题步骤 3.1.3

因为指数 $x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $4^{x}$ 趋于 $\infty$ 。

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 3.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{4^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{4}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{4}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

解题步骤 3.3.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $4$ 。

$\frac{4}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{4^{x} \ln (4)}$

解题步骤 4

因为项 $\frac{3}{\ln (4)}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{4^{x}}$

解题步骤 5

运用洛必达法则。

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解题步骤 5.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 5.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} 4^{x}}$

解题步骤 5.1.2

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4^{x}}$

解题步骤 5.1.3

因为指数 $x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $4^{x}$ 趋于 $\infty$ 。

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 5.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 5.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{4^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

解题步骤 5.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 5.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

解题步骤 5.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

解题步骤 5.3.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $4$ 。

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{4^{x} \ln (4)}$

解题步骤 6

因为项 $\frac{2}{\ln (4)}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{x}{4^{x}}$

解题步骤 7

运用洛必达法则。

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解题步骤 7.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 7.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} 4^{x}}$

解题步骤 7.1.2

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4^{x}}$

解题步骤 7.1.3

因为指数 $x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $4^{x}$ 趋于 $\infty$ 。

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 7.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 7.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{4^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

解题步骤 7.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 7.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

解题步骤 7.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

解题步骤 7.3.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $4$ 。

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{4^{x} \ln (4)}$

解题步骤 8

因为项 $\frac{1}{\ln (4)}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{4^{x}}$

解题步骤 9

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{4^{x}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

解题步骤 10

化简答案。

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解题步骤 10.1

将 $\ln (4)$ 重写为 $\ln (2^{2})$ 。

$\frac{4}{\ln (2^{2})} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

解题步骤 10.2

通过将 $2$ 移到对数外来展开 $\ln (2^{2})$ 。

$\frac{4}{2 \ln (2)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

解题步骤 10.3

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \ln (2)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

解题步骤 10.3.2

约去公因数。

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解题步骤 10.3.2.1

从 $2 \ln (2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2 (\ln (2))} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

解题步骤 10.3.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \ln (2)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

解题步骤 10.3.2.3

重写表达式。

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

解题步骤 10.4

乘以 $\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{3}{\ln (4)}$ 。

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解题步骤 10.4.1

将 $\frac{2}{\ln (2)}$ 乘以 $\frac{3}{\ln (4)}$ 。

$\frac{2 \cdot 3}{\ln (2) \ln (4)} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

解题步骤 10.4.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6}{\ln (2) \ln (4)} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

解题步骤 10.5

将 $\ln (4)$ 重写为 $\ln (2^{2})$ 。

$\frac{6}{\ln (2) \ln (2^{2})} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

解题步骤 10.6

通过将 $2$ 移到对数外来展开 $\ln (2^{2})$ 。

$\frac{6}{\ln (2) (2 \ln (2))} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

解题步骤 10.7

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.7.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 3}{\ln (2) (2 \ln (2))} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

解题步骤 10.7.2

约去公因数。

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解题步骤 10.7.2.1

从 $\ln (2) (2 \ln (2))$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 3}{2 (\ln (2) (\ln (2)))} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

解题步骤 10.7.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 3}{2 (\ln (2) (\ln (2)))} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

解题步骤 10.7.2.3

重写表达式。

$\frac{3}{\ln (2) (\ln (2))} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

解题步骤 10.8

化简分母。

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解题步骤 10.8.1

对 $\ln (2)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3}{\ln^{1} (2) \ln (2)} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

解题步骤 10.8.2

对 $\ln (2)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3}{\ln^{1} (2) \ln^{1} (2)} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

解题步骤 10.8.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3}{{\ln (2)}^{1 + 1}} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

解题步骤 10.8.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3}{\ln^{2} (2)} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

解题步骤 10.9

合并。

$\frac{3 \cdot 2}{\ln^{2} (2) \ln (4)} \cdot \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

解题步骤 10.10

合并。

$\frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{\ln^{2} (2) \ln (4) \ln (4)} \cdot 0$

解题步骤 10.11

化简分子。

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解题步骤 10.11.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6 \cdot 1}{\ln^{2} (2) \ln (4) \ln (4)} \cdot 0$

解题步骤 10.11.2

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6}{\ln^{2} (2) \ln (4) \ln (4)} \cdot 0$

解题步骤 10.12

化简分母。

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解题步骤 10.12.1

对 $\ln (4)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{6}{\ln^{2} (2) (\ln^{1} (4) \ln (4))} \cdot 0$

解题步骤 10.12.2

对 $\ln (4)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{6}{\ln^{2} (2) (\ln^{1} (4) \ln^{1} (4))} \cdot 0$

解题步骤 10.12.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{6}{\ln^{2} (2) {\ln (4)}^{1 + 1}} \cdot 0$

解题步骤 10.12.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{6}{\ln^{2} (2) \ln^{2} (4)} \cdot 0$

解题步骤 10.13

将 $\frac{6}{\ln^{2} (2) \ln^{2} (4)}$ 乘以 $0$ 。

$0$

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