微积分学示例

$x^{2} - y^{2} = 9$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d y} (x^{2} - y^{2}) = \frac{d}{d y} (9)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{2} - y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ 。

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d y} [x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{2}$ 且 $g (y) = x$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

解题步骤 2.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

解题步骤 2.2.1.3

使用 $x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 x \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$2 x x' + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$2 x x' - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x x' - (2 y)$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 x x' - 2 y$

解题步骤 3

因为 $9$ 对于 $y$ 是常数，所以 $9$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$2 x x' - 2 y = 0$

解题步骤 5

求解 $x'$ 。

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解题步骤 5.1

在等式两边都加上 $2 y$ 。

$2 x x' = 2 y$

解题步骤 5.2

将 $2 x x' = 2 y$ 中的每一项除以 $2 x$ 并化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $2 x x' = 2 y$ 中的每一项都除以 $2 x$ 。

$\frac{2 x x'}{2 x} = \frac{2 y}{2 x}$

解题步骤 5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x x'}{2 x} = \frac{2 y}{2 x}$

解题步骤 5.2.2.1.2

重写表达式。

$\frac{x x'}{x} = \frac{2 y}{2 x}$

解题步骤 5.2.2.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{x x'}{x} = \frac{2 y}{2 x}$

解题步骤 5.2.2.2.2

用 $x'$ 除以 $1$ 。

$x' = \frac{2 y}{2 x}$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.1.1

约去公因数。

$x' = \frac{2 y}{2 x}$

解题步骤 5.2.3.1.2

重写表达式。

$x' = \frac{y}{x}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d x}{d y}$ 替换 $x'$ 。

$\frac{d x}{d y} = \frac{y}{x}$

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