微积分学示例

${(x - y)}^{3} + {(x + y)}^{3} = x^{5} + y^{5}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d y} ({(x - y)}^{3} + {(x + y)}^{3}) = \frac{d}{d y} (x^{5} + y^{5})$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， ${(x - y)}^{3} + {(x + y)}^{3}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [{(x - y)}^{3}] + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$ 。

$\frac{d}{d y} [{(x - y)}^{3}] + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d y} [{(x - y)}^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{3}$ 且 $g (y) = x - y$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x - y$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d y} [x - y] + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

解题步骤 2.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d y} [x - y] + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

解题步骤 2.2.1.3

使用 $x - y$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$3 {(x - y)}^{2} \frac{d}{d y} [x - y] + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

解题步骤 2.2.2

根据加法法则， $x - y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ 。

$3 {(x - y)}^{2} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]) + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

解题步骤 2.2.3

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$3 {(x - y)}^{2} (x' + \frac{d}{d y} [- y]) + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

解题步骤 2.2.4

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y]$ 。

$3 {(x - y)}^{2} (x' - \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

解题步骤 2.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 {(x - y)}^{2} (x' - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

解题步骤 2.2.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$3 {(x - y)}^{2} (x' - 1) + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{3}$ 且 $g (y) = x + y$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x + y$ 。

$3 {(x - y)}^{2} (x' - 1) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d y} [x + y]$

解题步骤 2.3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 {(x - y)}^{2} (x' - 1) + 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d y} [x + y]$

解题步骤 2.3.1.3

使用 $x + y$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$3 {(x - y)}^{2} (x' - 1) + 3 {(x + y)}^{2} \frac{d}{d y} [x + y]$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $x + y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ 。

$3 {(x - y)}^{2} (x' - 1) + 3 {(x + y)}^{2} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 2.3.3

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$3 {(x - y)}^{2} (x' - 1) + 3 {(x + y)}^{2} (x' + \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 {(x - y)}^{2} (x' - 1) + 3 {(x + y)}^{2} (x' + 1)$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x - y)}^{2} \cdot - 1 + 3 {(x + y)}^{2} (x' + 1)$

解题步骤 2.4.2

运用分配律。

$3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x - y)}^{2} \cdot - 1 + 3 {(x + y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} \cdot 1$

解题步骤 2.4.3

合并项。

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解题步骤 2.4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$3 {(x - y)}^{2} x' - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x + y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} \cdot 1$

解题步骤 2.4.3.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 {(x - y)}^{2} x' - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x + y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2}$

解题步骤 2.4.4

重新排序项。

$3 {(x + y)}^{2} - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

解题步骤 2.4.5

化简每一项。

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解题步骤 2.4.5.1

将 ${(x + y)}^{2}$ 重写为 $(x + y) (x + y)$ 。

$3 ((x + y) (x + y)) - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

解题步骤 2.4.5.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + y) (x + y)$ 。

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解题步骤 2.4.5.2.1

运用分配律。

$3 (x (x + y) + y (x + y)) - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

解题步骤 2.4.5.2.2

运用分配律。

$3 (x \cdot x + x y + y (x + y)) - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

解题步骤 2.4.5.2.3

运用分配律。

$3 (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y) - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

解题步骤 2.4.5.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.4.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.5.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$3 (x^{2} + x y + y x + y \cdot y) - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

解题步骤 2.4.5.3.1.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$3 (x^{2} + x y + y x + y^{2}) - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

解题步骤 2.4.5.3.2

将 $x y$ 和 $y x$ 相加。

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解题步骤 2.4.5.3.2.1

将 $y$ 和 $x$ 重新排序。

$3 (x^{2} + x y + x y + y^{2}) - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

解题步骤 2.4.5.3.2.2

将 $x y$ 和 $x y$ 相加。

$3 (x^{2} + 2 x y + y^{2}) - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

解题步骤 2.4.5.4

运用分配律。

$3 x^{2} + 3 (2 x y) + 3 y^{2} - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

解题步骤 2.4.5.5

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$3 x^{2} + 6 (x y) + 3 y^{2} - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

解题步骤 2.4.5.6

将 ${(x - y)}^{2}$ 重写为 $(x - y) (x - y)$ 。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 ((x - y) (x - y)) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

解题步骤 2.4.5.7

使用 FOIL 方法展开 $(x - y) (x - y)$ 。

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解题步骤 2.4.5.7.1

运用分配律。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x (x - y) - y (x - y)) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

解题步骤 2.4.5.7.2

运用分配律。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x \cdot x + x (- y) - y (x - y)) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

解题步骤 2.4.5.7.3

运用分配律。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

解题步骤 2.4.5.8

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.4.5.8.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.5.8.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

解题步骤 2.4.5.8.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} - x y - y x - y (- y)) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

解题步骤 2.4.5.8.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

解题步骤 2.4.5.8.1.4

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 2.4.5.8.1.4.1

移动 $y$ 。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

解题步骤 2.4.5.8.1.4.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

解题步骤 2.4.5.8.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

解题步骤 2.4.5.8.1.6

将 $y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} - x y - y x + y^{2}) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

解题步骤 2.4.5.8.2

从 $- x y$ 中减去 $y x$ 。

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解题步骤 2.4.5.8.2.1

移动 $y$ 。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

解题步骤 2.4.5.8.2.2

从 $- x y$ 中减去 $x y$ 。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} - 2 x y + y^{2}) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

解题步骤 2.4.5.9

运用分配律。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} - 3 (- 2 x y) - 3 y^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

解题步骤 2.4.5.10

将 $- 2$ 乘以 $- 3$ 。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 (x y) - 3 y^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

解题步骤 2.4.5.11

将 ${(x - y)}^{2}$ 重写为 $(x - y) (x - y)$ 。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 ((x - y) (x - y)) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

解题步骤 2.4.5.12

使用 FOIL 方法展开 $(x - y) (x - y)$ 。

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解题步骤 2.4.5.12.1

运用分配律。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x (x - y) - y (x - y)) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

解题步骤 2.4.5.12.2

运用分配律。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x \cdot x + x (- y) - y (x - y)) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

解题步骤 2.4.5.12.3

运用分配律。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

解题步骤 2.4.5.13

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.4.5.13.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.5.13.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

解题步骤 2.4.5.13.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} - x y - y x - y (- y)) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

解题步骤 2.4.5.13.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

解题步骤 2.4.5.13.1.4

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 2.4.5.13.1.4.1

移动 $y$ 。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

解题步骤 2.4.5.13.1.4.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

解题步骤 2.4.5.13.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

解题步骤 2.4.5.13.1.6

将 $y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} - x y - y x + y^{2}) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

解题步骤 2.4.5.13.2

从 $- x y$ 中减去 $y x$ 。

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解题步骤 2.4.5.13.2.1

移动 $y$ 。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

解题步骤 2.4.5.13.2.2

从 $- x y$ 中减去 $x y$ 。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} - 2 x y + y^{2}) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

解题步骤 2.4.5.14

运用分配律。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + (3 x^{2} + 3 (- 2 x y) + 3 y^{2}) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

解题步骤 2.4.5.15

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + (3 x^{2} - 6 (x y) + 3 y^{2}) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

解题步骤 2.4.5.16

运用分配律。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

解题步骤 2.4.5.17

将 ${(x + y)}^{2}$ 重写为 $(x + y) (x + y)$ 。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 ((x + y) (x + y)) x'$

解题步骤 2.4.5.18

使用 FOIL 方法展开 $(x + y) (x + y)$ 。

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解题步骤 2.4.5.18.1

运用分配律。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 (x (x + y) + y (x + y)) x'$

解题步骤 2.4.5.18.2

运用分配律。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 (x \cdot x + x y + y (x + y)) x'$

解题步骤 2.4.5.18.3

运用分配律。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y) x'$

解题步骤 2.4.5.19

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.4.5.19.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.5.19.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 (x^{2} + x y + y x + y \cdot y) x'$

解题步骤 2.4.5.19.1.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 (x^{2} + x y + y x + y^{2}) x'$

解题步骤 2.4.5.19.2

将 $x y$ 和 $y x$ 相加。

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解题步骤 2.4.5.19.2.1

将 $y$ 和 $x$ 重新排序。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 (x^{2} + x y + x y + y^{2}) x'$

解题步骤 2.4.5.19.2.2

将 $x y$ 和 $x y$ 相加。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 (x^{2} + 2 x y + y^{2}) x'$

解题步骤 2.4.5.20

运用分配律。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + (3 x^{2} + 3 (2 x y) + 3 y^{2}) x'$

解题步骤 2.4.5.21

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + (3 x^{2} + 6 (x y) + 3 y^{2}) x'$

解题步骤 2.4.5.22

运用分配律。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 6 x y x' + 3 y^{2} x'$

解题步骤 2.4.6

合并 $3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 6 x y x' + 3 y^{2} x'$ 中相反的项。

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解题步骤 2.4.6.1

从 $3 x^{2}$ 中减去 $3 x^{2}$ 。

$6 x y + 3 y^{2} + 0 + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 6 x y x' + 3 y^{2} x'$

解题步骤 2.4.6.2

将 $6 x y + 3 y^{2}$ 和 $0$ 相加。

$6 x y + 3 y^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 6 x y x' + 3 y^{2} x'$

解题步骤 2.4.6.3

从 $3 y^{2}$ 中减去 $3 y^{2}$ 。

$6 x y + 6 x y + 0 + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 6 x y x' + 3 y^{2} x'$

解题步骤 2.4.6.4

将 $6 x y + 6 x y$ 和 $0$ 相加。

$6 x y + 6 x y + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 6 x y x' + 3 y^{2} x'$

解题步骤 2.4.6.5

将 $- 6 x y x'$ 和 $6 x y x'$ 相加。

$6 x y + 6 x y + 3 x^{2} x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 0 + 3 y^{2} x'$

解题步骤 2.4.6.6

将 $6 x y + 6 x y + 3 x^{2} x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x'$ 和 $0$ 相加。

$6 x y + 6 x y + 3 x^{2} x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 3 y^{2} x'$

解题步骤 2.4.7

将 $6 x y$ 和 $6 x y$ 相加。

$12 x y + 3 x^{2} x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 3 y^{2} x'$

解题步骤 2.4.8

将 $3 x^{2} x'$ 和 $3 x^{2} x'$ 相加。

$12 x y + 6 x^{2} x' + 3 y^{2} x' + 3 y^{2} x'$

解题步骤 2.4.9

将 $3 y^{2} x'$ 和 $3 y^{2} x'$ 相加。

$12 x y + 6 x^{2} x' + 6 y^{2} x'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x^{5} + y^{5}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [y^{5}]$ 。

$\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [y^{5}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d y} [x^{5}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{5}$ 且 $g (y) = x$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{5}]$

解题步骤 3.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$5 u^{4} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{5}]$

解题步骤 3.2.1.3

使用 $x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 x^{4} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{5}]$

解题步骤 3.2.2

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$5 x^{4} x' + \frac{d}{d y} [y^{5}]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$5 x^{4} x' + 5 y^{4}$

解题步骤 3.3.2

重新排序项。

$5 y^{4} + 5 x^{4} x'$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$12 x y + 6 x^{2} x' + 6 y^{2} x' = 5 y^{4} + 5 x^{4} x'$

解题步骤 5

求解 $x'$ 。

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解题步骤 5.1

从等式两边同时减去 $5 x^{4} x'$ 。

$12 x y + 6 x^{2} x' + 6 y^{2} x' - 5 x^{4} x' = 5 y^{4}$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $12 x y$ 。

$6 x^{2} x' + 6 y^{2} x' - 5 x^{4} x' = 5 y^{4} - 12 x y$

解题步骤 5.3

从 $6 x^{2} x' + 6 y^{2} x' - 5 x^{4} x'$ 中分解出因数 $x'$ 。

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解题步骤 5.3.1

从 $6 x^{2} x'$ 中分解出因数 $x'$ 。

$x' (6 x^{2}) + 6 y^{2} x' - 5 x^{4} x' = 5 y^{4} - 12 x y$

解题步骤 5.3.2

从 $6 y^{2} x'$ 中分解出因数 $x'$ 。

$x' (6 x^{2}) + x' (6 y^{2}) - 5 x^{4} x' = 5 y^{4} - 12 x y$

解题步骤 5.3.3

从 $- 5 x^{4} x'$ 中分解出因数 $x'$ 。

$x' (6 x^{2}) + x' (6 y^{2}) + x' (- 5 x^{4}) = 5 y^{4} - 12 x y$

解题步骤 5.3.4

从 $x' (6 x^{2}) + x' (6 y^{2})$ 中分解出因数 $x'$ 。

$x' (6 x^{2} + 6 y^{2}) + x' (- 5 x^{4}) = 5 y^{4} - 12 x y$

解题步骤 5.3.5

从 $x' (6 x^{2} + 6 y^{2}) + x' (- 5 x^{4})$ 中分解出因数 $x'$ 。

$x' (6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}) = 5 y^{4} - 12 x y$

解题步骤 5.4

将 $x' (6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}) = 5 y^{4} - 12 x y$ 中的每一项除以 $6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}$ 并化简。

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解题步骤 5.4.1

将 $x' (6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}) = 5 y^{4} - 12 x y$ 中的每一项都除以 $6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}$ 。

$\frac{x' (6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4})}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}} = \frac{5 y^{4}}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}} + \frac{- 12 x y}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}}$

解题步骤 5.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.1

约去 $6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x' (6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4})}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}} = \frac{5 y^{4}}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}} + \frac{- 12 x y}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}}$

解题步骤 5.4.2.1.2

用 $x'$ 除以 $1$ 。

$x' = \frac{5 y^{4}}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}} + \frac{- 12 x y}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}}$

解题步骤 5.4.3

化简右边。

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解题步骤 5.4.3.1

在公分母上合并分子。

$x' = \frac{5 y^{4} - 12 x y}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}}$

解题步骤 5.4.3.2

从 $5 y^{4} - 12 x y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 5.4.3.2.1

从 $5 y^{4}$ 中分解出因数 $y$ 。

$x' = \frac{y (5 y^{3}) - 12 x y}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}}$

解题步骤 5.4.3.2.2

从 $- 12 x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$x' = \frac{y (5 y^{3}) + y (- 12 x)}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}}$

解题步骤 5.4.3.2.3

从 $y (5 y^{3}) + y (- 12 x)$ 中分解出因数 $y$ 。

$x' = \frac{y (5 y^{3} - 12 x)}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d x}{d y}$ 替换 $x'$ 。

$\frac{d x}{d y} = \frac{y (5 y^{3} - 12 x)}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}}$

微积分学 示例

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