微积分学示例

$y = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5$

解题步骤 1

求 x 轴截距。

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解题步骤 1.1

要求 x 轴截距，请将 $0$ 代入 $y$ 并求解 $x$ 。

$0 = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5$

解题步骤 1.2

求解方程。

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解题步骤 1.2.1

将方程重写为 $2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5 = 0$ 。

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5 = 0$

解题步骤 1.2.2

使用有理根检验法因式分解 $2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 2$

解题步骤 1.2.2.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 5, \pm 2.5$

解题步骤 1.2.2.3

代入 $5$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $5$ 是多项式的根。

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解题步骤 1.2.2.3.1

将 $5$ 代入多项式。

$2 \cdot 5^{3} - 3 \cdot 5^{2} - 36 \cdot 5 + 5$

解题步骤 1.2.2.3.2

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$2 \cdot 125 - 3 \cdot 5^{2} - 36 \cdot 5 + 5$

解题步骤 1.2.2.3.3

将 $2$ 乘以 $125$ 。

$250 - 3 \cdot 5^{2} - 36 \cdot 5 + 5$

解题步骤 1.2.2.3.4

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$250 - 3 \cdot 25 - 36 \cdot 5 + 5$

解题步骤 1.2.2.3.5

将 $- 3$ 乘以 $25$ 。

$250 - 75 - 36 \cdot 5 + 5$

解题步骤 1.2.2.3.6

从 $250$ 中减去 $75$ 。

$175 - 36 \cdot 5 + 5$

解题步骤 1.2.2.3.7

将 $- 36$ 乘以 $5$ 。

$175 - 180 + 5$

解题步骤 1.2.2.3.8

从 $175$ 中减去 $180$ 。

$- 5 + 5$

解题步骤 1.2.2.3.9

将 $- 5$ 和 $5$ 相加。

$0$

解题步骤 1.2.2.4

因为 $5$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 5$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5}{x - 5}$

解题步骤 1.2.2.5

用 $2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5$ 除以 $x - 5$ 。

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解题步骤 1.2.2.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$36 x$

$5$

解题步骤 1.2.2.5.2

将被除数中的最高阶项 $2 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$

解题步骤 1.2.2.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$2 x^{2}$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			+	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$

解题步骤 1.2.2.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x^{3} - 10 x^{2}$ 中的所有符号

				$2 x^{2}$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$

解题步骤 1.2.2.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 x^{2}$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$

解题步骤 1.2.2.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$2 x^{2}$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$

解题步骤 1.2.2.5.7

将被除数中的最高阶项 $7 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$

解题步骤 1.2.2.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$35 x$

解题步骤 1.2.2.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $7 x^{2} - 35 x$ 中的所有符号

				$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$

解题步骤 1.2.2.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$
							-	$x$

解题步骤 1.2.2.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$
							-	$x$	+	$5$

解题步骤 1.2.2.5.12

将被除数中的最高阶项 $- x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$1$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$
							-	$x$	+	$5$

解题步骤 1.2.2.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$1$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$
							-	$x$	+	$5$
							-	$x$	+	$5$

解题步骤 1.2.2.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x + 5$ 中的所有符号

				$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$1$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$
							-	$x$	+	$5$
							+	$x$	-	$5$

解题步骤 1.2.2.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$1$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$
							-	$x$	+	$5$
							+	$x$	-	$5$
										$0$

解题步骤 1.2.2.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$2 x^{2} + 7 x - 1$

解题步骤 1.2.2.6

将 $2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5$ 书写为因数的集合。

$(x - 5) (2 x^{2} + 7 x - 1) = 0$

解题步骤 1.2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

$2 x^{2} + 7 x - 1 = 0$

解题步骤 1.2.4

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

解题步骤 1.2.4.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$x = 5$

解题步骤 1.2.5

将 $2 x^{2} + 7 x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $2 x^{2} + 7 x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 x^{2} + 7 x - 1 = 0$

解题步骤 1.2.5.2

求解 $x$ 的 $2 x^{2} + 7 x - 1 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.5.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 1.2.5.2.2

将 $a = 2$ 、 $b = 7$ 和 $c = - 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.2.5.2.3

化简。

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解题步骤 1.2.5.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 1.2.5.2.3.1.1

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.2.5.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 1.2.5.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.2.5.2.3.1.2.2

将 $- 8$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 8}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.2.5.2.3.1.3

将 $49$ 和 $8$ 相加。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.2.5.2.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{57}}{4}$

解题步骤 1.2.5.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 1.2.5.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 1.2.5.2.4.1.1

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.2.5.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 1.2.5.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.2.5.2.4.1.2.2

将 $- 8$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 8}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.2.5.2.4.1.3

将 $49$ 和 $8$ 相加。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.2.5.2.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{57}}{4}$

解题步骤 1.2.5.2.4.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{- 7 + \sqrt{57}}{4}$

解题步骤 1.2.5.2.4.4

将 $- 7$ 重写为 $- 1 (7)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 7 + \sqrt{57}}{4}$

解题步骤 1.2.5.2.4.5

从 $\sqrt{57}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - 1 (- \sqrt{57})}{4}$

解题步骤 1.2.5.2.4.6

从 $- 1 (7) - 1 (- \sqrt{57})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (7 - \sqrt{57})}{4}$

解题步骤 1.2.5.2.4.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{7 - \sqrt{57}}{4}$

解题步骤 1.2.5.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 1.2.5.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 1.2.5.2.5.1.1

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.2.5.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 1.2.5.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.2.5.2.5.1.2.2

将 $- 8$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 8}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.2.5.2.5.1.3

将 $49$ 和 $8$ 相加。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.2.5.2.5.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{57}}{4}$

解题步骤 1.2.5.2.5.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{- 7 - \sqrt{57}}{4}$

解题步骤 1.2.5.2.5.4

将 $- 7$ 重写为 $- 1 (7)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - \sqrt{57}}{4}$

解题步骤 1.2.5.2.5.5

从 $- \sqrt{57}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - (\sqrt{57})}{4}$

解题步骤 1.2.5.2.5.6

从 $- 1 (7) - (\sqrt{57})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (7 + \sqrt{57})}{4}$

解题步骤 1.2.5.2.5.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{7 + \sqrt{57}}{4}$

解题步骤 1.2.5.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{7 - \sqrt{57}}{4}, - \frac{7 + \sqrt{57}}{4}$

解题步骤 1.2.6

最终解为使 $(x - 5) (2 x^{2} + 7 x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 5, - \frac{7 - \sqrt{57}}{4}, - \frac{7 + \sqrt{57}}{4}$

解题步骤 1.3

以点的形式表示的 x 轴截距。

x 轴截距： $(5, 0), (- \frac{7 - \sqrt{57}}{4}, 0), (- \frac{7 + \sqrt{57}}{4}, 0)$

解题步骤 2

求 y 轴截距

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解题步骤 2.1

要求 y 轴截距，请将 $0$ 代入 $x$ 并求解 $y$ 。

$y = 2 {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 + 5$

解题步骤 2.2

求解方程。

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解题步骤 2.2.1

去掉圆括号。

$y = 2 \cdot 0^{3} - 3 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 + 5$

解题步骤 2.2.2

去掉圆括号。

$y = 2 \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0^{2} - 36 \cdot 0 + 5$

解题步骤 2.2.3

去掉圆括号。

$y = 2 {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 + 5$

解题步骤 2.2.4

化简 $2 {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 + 5$ 。

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解题步骤 2.2.4.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.4.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$y = 2 \cdot 0 - 3 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 + 5$

解题步骤 2.2.4.1.2

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$y = 0 - 3 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 + 5$

解题步骤 2.2.4.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$y = 0 - 3 \cdot 0 - 36 \cdot 0 + 5$

解题步骤 2.2.4.1.4

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$y = 0 + 0 - 36 \cdot 0 + 5$

解题步骤 2.2.4.1.5

将 $- 36$ 乘以 $0$ 。

$y = 0 + 0 + 0 + 5$

解题步骤 2.2.4.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 2.2.4.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$y = 0 + 0 + 5$

解题步骤 2.2.4.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$y = 0 + 5$

解题步骤 2.2.4.2.3

将 $0$ 和 $5$ 相加。

$y = 5$

解题步骤 2.3

以点的形式表示的 y 轴截距。

y 轴截距： $(0, 5)$

解题步骤 3

列出交点。

x 轴截距： $(5, 0), (- \frac{7 - \sqrt{57}}{4}, 0), (- \frac{7 + \sqrt{57}}{4}, 0)$

y 轴截距： $(0, 5)$

解题步骤 4

微积分学 示例

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