微积分学示例

$C (20) = 9 + \sqrt{2 x + 24}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 x + 24}$ 重写成 ${(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$C (20) = 9 + {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (C (20)) = \frac{d}{d x} (9 + {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 3

对方程左边求微分。

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解题步骤 3.1

将 $20$ 移到 $C$ 的左侧。

$\frac{d}{d x} [20 C]$

解题步骤 3.2

因为 $20$ 对于 $x$ 是常数，所以 $20 C$ 对 $x$ 的导数是 $20 \frac{d}{d x} [C]$ 。

$20 \frac{d}{d x} [C]$

解题步骤 3.3

将 $\frac{d}{d x} [C]$ 重写为 $C'$ 。

$20 C'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

求微分。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $9 + {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.1.2

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}]$ 。

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解题步骤 4.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 2 x + 24$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x + 24$ 。

$0 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x + 24]$

解题步骤 4.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$0 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 24]$

解题步骤 4.2.1.3

使用 $2 x + 24$ 替换所有出现的 $u$ 。

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 24]$

解题步骤 4.2.2

根据加法法则， $2 x + 24$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [24]$ 。

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [24])$

解题步骤 4.2.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [24])$

解题步骤 4.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [24])$

解题步骤 4.2.5

因为 $24$ 对于 $x$ 是常数，所以 $24$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 + 0)$

解题步骤 4.2.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 \cdot 1 + 0)$

解题步骤 4.2.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0)$

解题步骤 4.2.8

在公分母上合并分子。

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0)$

解题步骤 4.2.9

化简分子。

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解题步骤 4.2.9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0)$

解题步骤 4.2.9.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{- 1}{2}} (2 \cdot 1 + 0)$

解题步骤 4.2.10

将负号移到分数的前面。

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + 0)$

解题步骤 4.2.11

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}} (2 + 0)$

解题步骤 4.2.12

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2$

解题步骤 4.2.13

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$0 + \frac{{(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 2$

解题步骤 4.2.14

组合 $\frac{{(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $2$ 。

$0 + \frac{{(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$

解题步骤 4.2.15

将 $2$ 移到 ${(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}}$ 的左侧。

$0 + \frac{2 \cdot {(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 4.2.16

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$0 + \frac{2}{2 {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.2.17

约去公因数。

$0 + \frac{2}{2 {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.2.18

重写表达式。

$0 + \frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.3

将 $0$ 和 $\frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$ 相加。

$\frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$20 C' = \frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6

将 $20 C' = \frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$ 中的每一项除以 $20$ 并化简。

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解题步骤 6.1

将 $20 C' = \frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$ 中的每一项都除以 $20$ 。

$\frac{20 C'}{20} = \frac{\frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}}{20}$

解题步骤 6.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.1

约去 $20$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{20 C'}{20} = \frac{\frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}}{20}$

解题步骤 6.2.1.2

用 $C'$ 除以 $1$ 。

$C' = \frac{\frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}}{20}$

解题步骤 6.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$C' = \frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{20}$

解题步骤 6.3.2

合并。

$C' = \frac{1 \cdot 1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

解题步骤 6.3.3

化简表达式。

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解题步骤 6.3.3.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$C' = \frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

解题步骤 6.3.3.2

将 $20$ 移到 ${(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$C' = \frac{1}{20 {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7

使用 $\frac{d C}{d x}$ 替换 $C'$ 。

$\frac{d C}{d x} = \frac{1}{20 {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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