微积分学示例

$g (a - 3) = \frac{1}{(a + 3) - 3}$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$g (a - 3) = \frac{1}{a + 3 - 3}$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d a} (g (a - 3)) = \frac{d}{d a} (\frac{1}{a + 3 - 3})$

解题步骤 3

对方程左边求微分。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d a} [f (a) g (a)]$ 等于 $f (a) \frac{d}{d a} [g (a)] + g (a) \frac{d}{d a} [f (a)]$ ，其中 $f (a) = g$ 且 $g (a) = a - 3$ 。

$g \frac{d}{d a} [a - 3] + (a - 3) \frac{d}{d a} [g]$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $a - 3$ 对 $a$ 的导数是 $\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- 3]$ 。

$g (\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- 3]) + (a - 3) \frac{d}{d a} [g]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ 等于 $n a^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$g (1 + \frac{d}{d a} [- 3]) + (a - 3) \frac{d}{d a} [g]$

解题步骤 3.2.3

因为 $- 3$ 对于 $a$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $a$ 的导数为 $0$ 。

$g (1 + 0) + (a - 3) \frac{d}{d a} [g]$

解题步骤 3.2.4

化简表达式。

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解题步骤 3.2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$g \cdot 1 + (a - 3) \frac{d}{d a} [g]$

解题步骤 3.2.4.2

将 $g$ 乘以 $1$ 。

$g + (a - 3) \frac{d}{d a} [g]$

解题步骤 3.3

将 $\frac{d}{d a} [g]$ 重写为 $g'$ 。

$g + (a - 3) g'$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

运用分配律。

$g + a g' - 3 g'$

解题步骤 3.4.2

重新排序项。

$a g' + g - 3 g'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

化简表达式。

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解题步骤 4.1.1

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$\frac{d}{d a} [\frac{1}{a + 0}]$

解题步骤 4.1.2

将 $a$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d}{d a} [\frac{1}{a}]$

解题步骤 4.1.3

将 $\frac{1}{a}$ 重写为 $a^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d a} [a^{- 1}]$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ 等于 $n a^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- a^{- 2}$

解题步骤 4.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{a^{2}}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$a g' + g - 3 g' = - \frac{1}{a^{2}}$

解题步骤 6

求解 $g'$ 。

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解题步骤 6.1

从等式两边同时减去 $g$ 。

$a g' - 3 g' = - \frac{1}{a^{2}} - g$

解题步骤 6.2

从 $a g' - 3 g'$ 中分解出因数 $g'$ 。

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解题步骤 6.2.1

从 $a g'$ 中分解出因数 $g'$ 。

$g' a - 3 g' = - \frac{1}{a^{2}} - g$

解题步骤 6.2.2

从 $- 3 g'$ 中分解出因数 $g'$ 。

$g' a + g' \cdot - 3 = - \frac{1}{a^{2}} - g$

解题步骤 6.2.3

从 $g' a + g' \cdot - 3$ 中分解出因数 $g'$ 。

$g' (a - 3) = - \frac{1}{a^{2}} - g$

解题步骤 6.3

将 $g' (a - 3) = - \frac{1}{a^{2}} - g$ 中的每一项除以 $a - 3$ 并化简。

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解题步骤 6.3.1

将 $g' (a - 3) = - \frac{1}{a^{2}} - g$ 中的每一项都除以 $a - 3$ 。

$\frac{g' (a - 3)}{a - 3} = \frac{- \frac{1}{a^{2}}}{a - 3} + \frac{- g}{a - 3}$

解题步骤 6.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.1

约去 $a - 3$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{g' (a - 3)}{a - 3} = \frac{- \frac{1}{a^{2}}}{a - 3} + \frac{- g}{a - 3}$

解题步骤 6.3.2.1.2

用 $g'$ 除以 $1$ 。

$g' = \frac{- \frac{1}{a^{2}}}{a - 3} + \frac{- g}{a - 3}$

解题步骤 6.3.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.3.1.1

将分子乘以分母的倒数。

$g' = - \frac{1}{a^{2}} \cdot \frac{1}{a - 3} + \frac{- g}{a - 3}$

解题步骤 6.3.3.1.2

将 $\frac{1}{a - 3}$ 乘以 $\frac{1}{a^{2}}$ 。

$g' = - \frac{1}{(a - 3) a^{2}} + \frac{- g}{a - 3}$

解题步骤 6.3.3.1.3

将负号移到分数的前面。

$g' = - \frac{1}{(a - 3) a^{2}} - \frac{g}{a - 3}$

解题步骤 6.3.3.2

要将 $- \frac{g}{a - 3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{a^{2}}{a^{2}}$ 。

$g' = - \frac{1}{(a - 3) a^{2}} - \frac{g}{a - 3} \cdot \frac{a^{2}}{a^{2}}$

解题步骤 6.3.3.3

将 $\frac{g}{a - 3}$ 乘以 $\frac{a^{2}}{a^{2}}$ 。

$g' = - \frac{1}{(a - 3) a^{2}} - \frac{g a^{2}}{(a - 3) a^{2}}$

解题步骤 6.3.3.4

在公分母上合并分子。

$g' = \frac{- 1 - g a^{2}}{(a - 3) a^{2}}$

解题步骤 6.3.3.5

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$g' = \frac{- 1 (1) - g a^{2}}{(a - 3) a^{2}}$

解题步骤 6.3.3.6

从 $- g a^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$g' = \frac{- 1 (1) - (g a^{2})}{(a - 3) a^{2}}$

解题步骤 6.3.3.7

从 $- 1 (1) - (g a^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$g' = \frac{- 1 (1 + g a^{2})}{(a - 3) a^{2}}$

解题步骤 6.3.3.8

化简表达式。

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解题步骤 6.3.3.8.1

将负号移到分数的前面。

$g' = - \frac{1 + g a^{2}}{(a - 3) a^{2}}$

解题步骤 6.3.3.8.2

将 $- \frac{1 + g a^{2}}{(a - 3) a^{2}}$ 中的因式重新排序。

$g' = - \frac{1 + g a^{2}}{a^{2} (a - 3)}$

解题步骤 7

使用 $\frac{d g}{d a}$ 替换 $g'$ 。

$\frac{d g}{d a} = - \frac{1 + g a^{2}}{a^{2} (a - 3)}$

微积分学 示例

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