微积分学示例

$f = {(x)}^{2} + 20 x + 400$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$f = x^{2} + 20 x + 400$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (f) = \frac{d}{d x} (x^{2} + 20 x + 400)$

解题步骤 3

$f$ 对 $x$ 的导数为 $f'$ 。

$f'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

求微分。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $x^{2} + 20 x + 400$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [400]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [400]$

解题步骤 4.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [400]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [20 x]$ 。

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解题步骤 4.2.1

因为 $20$ 对于 $x$ 是常数，所以 $20 x$ 对 $x$ 的导数是 $20 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 x + 20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [400]$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x + 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [400]$

解题步骤 4.2.3

将 $20$ 乘以 $1$ 。

$2 x + 20 + \frac{d}{d x} [400]$

解题步骤 4.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.3.1

因为 $400$ 对于 $x$ 是常数，所以 $400$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 20 + 0$

解题步骤 4.3.2

将 $2 x + 20$ 和 $0$ 相加。

$2 x + 20$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$f' = 2 x + 20$

解题步骤 6

使用 $\frac{d f}{d x}$ 替换 $f'$ 。

$\frac{d f}{d x} = 2 x + 20$

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